Question

為了對某校高三（1）班9月調考成績進行分析，在全班同學中隨機抽出5位，他們的數(shù)學分數(shù)（已折算為百分制）從小到大排列為75、80、85、90、95，物理分數(shù)從小到大排列為 73、77、80、87、88．
（I）求這5位同學中恰有2位同學的數(shù)學和物理分數(shù)都不小于85分的概率；
（II）若這5位同學的數(shù)學、物理、化學分數(shù)事實上對應如下表：
從散點圖分析，y與x，z與x之間都有較好的線性相關關系，分別求y與x，z與x的線性回歸方程，并用相關指數(shù)比較所求回歸模型的擬合效果．
參考數(shù)據(jù)：

.

x

=85，

.

y

=81，

.

z

=86，

5

i=1

(xi-

.

x

)²=250，

5

i=1

(yi-

.

y

) 2=166，

5

i=1

(zi-

.

z

) 2=100，

5

i=1

 (xi-

.

x

)(yi-

.

y

)  =200，

5

i=1

 (xi-

.

x

)(zi-

.

z

)  =150．

Answer 1

分析：（I）先則需要先從數(shù)學的3個不小于85分數(shù)中選出2個與2個物理不小于85分數(shù)對應的種數(shù)，然后將剩下的3個數(shù)學分數(shù)和物理分數(shù)任意對應的種數(shù)，最后根據(jù)乘法原理問題得解；
（II）根據(jù)最小二乘法計算可得回歸方程

y

=b

x

+a中的b和a，回歸直線方程即得，通過相關指數(shù)R²的計算可以得到回歸方程的擬合程度．

解答：解：（I）這5位同學中恰有2位同學的數(shù)學和物理分數(shù)均為不小于85分，
則需要先從數(shù)學的3個不小于85分數(shù)中選出2個與2個物理不小于85分數(shù)對應，
種數(shù)是C₃²A₂²（或A₃²），然后將剩下的3個數(shù)學分數(shù)和物理分數(shù)任意對應，種數(shù)是A₃³．
據(jù)乘法原理，滿足條件的種數(shù)是C₃²A₂²A₃³． （2分）
這5位同學的物理分數(shù)和數(shù)學分數(shù)分別對應的種數(shù)共有A₅⁵． （5分）
故所求的概率P=

C 2 3 A 2 2 A 3 3

A 5 5

=

3

10

． （4分）
（II）設y與x、z與x的線性回歸方程分別是

?

y

=bx+a、

?

z

=b′x+a′．
根據(jù)所給的數(shù)據(jù)，可以計算出b=

200

250

=0.8，a=81-0.8×85=13，b′=

150

250

=0.6，a′=86-0.6×85=35．（8分）
所以y與x和z與x的回歸方程分別是

?

y

=0.6x+13、

?

z

=0.6x+35．（11分）
∴

5

i=1

（yi-

y

i）²=0²+0²+（-1）²+2²+（-1）²=6，
∴

5

i=1

（zi-

z

i）²=（-2）²+2²+1²+0²+（-1）²=10，
又y與x、z與x的相關指數(shù)是R2=1-

6

166

≈0.964、R′2=1-

10

100

≈0.90． （11分）
故回歸模型

?

y

=0.6x+13比回歸模型

?

z

=0.6x+35的擬合的效果好．（12分）]

點評：本題考查組合及運算、概率、相關系數(shù)的運算、回歸直線方程的求法和回歸模型的擬合效果判斷等多方面知識和方法．本題綜合性強，所用知識、方法眾多，將回歸分析的相關知識的考查發(fā)揮到了極致，盡管已知中提供了大量的數(shù)據(jù)，但計算量仍然很大，如相關系數(shù)、相關指數(shù)的計算、最小二乘法的使用等等，這會使計算過程容易出錯；就本題的題意而言，思路清晰、方向明確，找到解題的途徑并不難．