Question

5．在四棱錐P-ABCD中，側(cè)面PAD是正三角形，且與底面ABCD垂直，底面ABCD是邊長為2的菱形，∠BAD=60°，N是PB的中點(diǎn)，過A、D、N三點(diǎn)的平面交PC于M，E為AD中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：EN∥平面PCD；
（Ⅱ）求證：BC⊥平面PEB；
（Ⅲ）求三棱錐M-PBE的體積．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由AD∥BC且BC?平面PBC，可得AD∥平面PBC．再由線面平行的性質(zhì)可得AD∥MN．得到MN∥BC，MN=$\frac{1}{2}BC$．結(jié)合E為AD中點(diǎn)，可得DE∥BC，DE=$\frac{1}{2}BC$，則MN∥DE，MN=DE．得到四邊形EDMN為平行四邊形．從而得到EN∥平面PCD；
（Ⅱ）連接BE、BD，由已知可得BE⊥AD．同理可得PE⊥AD，再由線面垂直的判定可得AD⊥平面PEB．進(jìn)一步得到BC⊥平面PEB；             
（Ⅲ）由（Ⅱ）可知MN為M到平面PEB的距離．然后求解三角形$PE=BE=\sqrt{3}$，MN=$\frac{1}{2}BC=1$，代入棱錐體積公式可得三棱錐M-PBE的體積．

解答 （Ⅰ）證明：∵AD∥BC且BC?平面PBC，
∴AD∥平面PBC．
又∵平面ADMN經(jīng)過AD與平面PBC交于MN，
∴AD∥MN．
∵N為PB中點(diǎn)，∴MN為△ABC的中位線，
∴MN∥BC，MN=$\frac{1}{2}BC$．
又∵E為AD中點(diǎn)，∴DE∥BC，DE=$\frac{1}{2}BC$，則MN∥DE，MN=DE．
∴四邊形EDMN為平行四邊形．
∴EN∥DM．
又∵DN?平面PCD，
∴EN∥平面PCD；
（Ⅱ）證明：連接BE、BD，
∵AD=AB且∠DAB=60°，
∴△ADB為等邊三角形．
∴BE⊥AD．
同理，在等邊△PAD中，PE⊥AD，
又BE∩PE=E，∴AD⊥平面PEB．
又BC∥AD，∴BC⊥平面PEB；             
（Ⅲ）解：BC∥MN，∴MN⊥平面PEB，
∴MN為M到平面PEB的距離．
∵PE⊥平面ABCD，
∴PE⊥BE，即∠PEB=90°．
又$PE=BE=\sqrt{3}$，MN=$\frac{1}{2}BC=1$，
∴${V}_{M-PBE}=\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×\sqrt{3}×\sqrt{3}×1=\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評 本題考查空間中直線與平面的位置關(guān)系，考查空間想象能力和思維能力，訓(xùn)練了多面體體積的求法，是中檔題．