Question

16．在數(shù)列{a_n}中，a₁=1，其前n項和S_n滿足關(guān)系式3t•S_n-（2t+3）•S_n-1=3t（t＞0，n=2，3，…）
（1）求證：數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列；
（2）設(shè)數(shù)列{a_n}的公比為f（t），作數(shù)列{b_n}，使b₁=1，b_n=f（$\frac{1}{_{n-1}}$），n=（2，3，…），求b_n；
（3）求b₁b₂-b₂b₃+b₃b₄-b₄b₅+…+b_2n-1b_2n-b_2nb_2n+1．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)數(shù)列的遞推關(guān)系即可證明，
（2）判斷出{b_n}是等差數(shù)列，即可求出通項公式，
（3）由b_2n-1b_2n-b_2nb_2n+1=b_2n（b_2n-1-b_2n+1），即可求出前n項和．

解答 解：（1）證明：由已知3tS_n-（2t+3）S_n-1=3t，即有3t（a₁+a₂）-（2t+3）a₁=3t，
由a₁=1解得${a_2}=\frac{2t+3}{3t}$，
所以$\frac{a_2}{a_1}=\frac{2t+3}{3t}$
當(dāng)n≥2時，有3tS_n+1-（2t+3）S_n=3t  ①，
3tS_n-（2t+3）S_n-1=3t  ②
①-②得3ta_n+1-（2t+3）a_n=0
綜上所述，知$\frac{{{a_{n+1}}}}{a_n}=\frac{2t+3}{3t}$，
n≥1，因此{(lán)a_n}是等比數(shù)列；
（2）由（1）知$f（t）=\frac{2t+3}{3t}$
則$使{b_1}=1，{b_n}=\frac{{2•\frac{1}{{{b_{n-1}}}}+3}}{{3•\frac{1}{{{b_{n-1}}}}}}=\frac{2}{3}+{b_{n-1}}$
所以b_n-b_n-1=$\frac{2}{3}$n=（2，3，…）
因此，{b_n}是等差數(shù)列，且${b_1}=1，{b_n}={b_1}+（n-1）d=\frac{2}{3}n+\frac{1}{3}$，
（3）b₁b₂-b₂b₃+b₃b₄-b₄b₅+…+b_2n-1b_2n-b_2nb_2n+1
=b₂（b₁-b₃）+b₄（b₃-b₅）+…+b_2n（b_2n-1-b_2n+1）
=$-\frac{4}{3}（{b_2}+{b_4}+…+{b_{2n}}）=-\frac{4}{3}•\frac{{n（{b_2}+{b_{2n}}）}}{2}=-\frac{4}{3}•\frac{{n（\frac{5}{3}+\frac{4n+1}{3}）}}{2}$
=$-\frac{8}{9}{n^2}-\frac{4}{3}n$．

點評 本題考查了數(shù)列的通項公式和等比數(shù)列和等差數(shù)列，以及前n項和公式，屬于中檔題．