Question

4．已知球面上有四個點(diǎn)A、B、C、D，球心為點(diǎn)O，且點(diǎn)O在CD上，若三棱錐A-BCD體積的最大值為$\frac{8}{3}$，則球O的表面積為（　�。�

• A． 4π
• B． 16π
• C． $\frac{16π}{3}$
• D． $\frac{32π}{3}$

Answer 1

分析 由題意，CD為直徑，△ACD的最大面積為$\frac{1}{2}•2R•R$=R²，三棱錐A-BCD體積最大時，BO⊥平面ACD，三棱錐的高為R，利用三棱錐A-BCD體積的最大值為$\frac{8}{3}$，求出R，即可求球O的表面積．

解答 解：由題意，CD為直徑，△ACD的最大面積為$\frac{1}{2}•2R•R$=R²，
三棱錐A-BCD體積最大時，BO⊥平面ACD，三棱錐的高為R，
∵三棱錐A-BCD體積的最大值為$\frac{8}{3}$，
∴$\frac{1}{3}{R}^{2}•R$=$\frac{8}{3}$，
∴R=2，
∴球O的表面積為4πR²=16π．
故選：B．

點(diǎn)評 本題考查球O的表面積，考查三棱錐體積的計算，考查學(xué)生的計算能力，確定球的半徑是關(guān)鍵．