Question

設函數(shù)f（x）=

1

3

x-lnx（x＞0），那么函數(shù)y=f（x）（　�。�

• A、在區(qū)間（

  1

  e

  ，1）內(nèi)無零點，在區(qū)間（1，e）內(nèi)有零點
• B、在區(qū)間（

  1

  e

  ，1）內(nèi)有零點，在區(qū)間（1，e）內(nèi)無零點
• C、在區(qū)間（

  1

  e

  ，1），（1，e）內(nèi)均有零點
• D、在區(qū)間（

  1

  e

  ，1），（1，e）內(nèi)均無零點

Answer 1

考點：函數(shù)零點的判定定理

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應用,導數(shù)的綜合應用

分析：求函數(shù)的導數(shù)，判斷函數(shù)的單調(diào)性，然后利用函數(shù)零點的判斷條件即可得到結論．

解答： 解：函數(shù)的導數(shù)為f′（x）=

1

3

-

1

x

=

x-3

3x

，
當f′（x）＞0，解得x＞3，此時函數(shù)單調(diào)遞增，
當f′（x）＜0，解得0＜x＜3，此時函數(shù)單調(diào)遞減，
則函數(shù)f（x）在（

1

e

，1），（1，e）都為減函數(shù)，
∵f（

1

e

）=

1

3

×

1

e

-ln

1

e

=

1

3e

+1＞0，f（1）=

1

3

＞0，f（e）=

1

3

e-lne=

1

3

e-e＜0，
∴在區(qū)間（

1

e

，1）內(nèi)無零點，在區(qū)間（1，e）內(nèi)有零點，
故選：A

點評：本題主要考查函數(shù)零點的判斷，求函數(shù)的導數(shù)，判斷函數(shù)的單調(diào)性，以及利用函數(shù)零點的判斷條件是解決本題的關鍵．