【題目】數(shù)列滿足： ， ，

(Ⅰ)判斷與的大小關(guān)系，并證明你的結(jié)論；

(Ⅱ)求證： .

【答案】（1）當n為奇數(shù)時， ，即<；當n為偶數(shù)時， ， >；（2）見解析.

【解析】試題分析：(Ⅰ) 分當為奇數(shù)時和當n為偶數(shù)時兩種情況，將與2作差，變形即可判斷與的大小關(guān)系；
(Ⅱ) 要證，

只需證，驗證可知當時，當時不等式成立，

當為偶數(shù)且時，

要證，只需證，即證，

令，則單調(diào)遞減，即可證明；

當為奇數(shù)且時，要證，只需證，

只需證，即證，令，討論單調(diào)性即可證明.

試題解析：Ⅰ) 當n為奇數(shù)時， <；當n為偶數(shù)時， >. 證明如下：

，

兩邊同取倒數(shù)得：

，

，

所以數(shù)列是以為首項， 為公比的等比數(shù)列， ， ，所以當n為奇數(shù)時，

，即<；當n為偶數(shù)時， ， >.

(Ⅱ)證明：因為

，

要證，

只需證，

當時， 成立，當時， 成立，

當為偶數(shù)且時，

要證，

只需證，即證

，

令，則單調(diào)遞減， ，

當為奇數(shù)且時，

要證，

只需證，

只需證，

即證，令，

則單調(diào)遞減， ，

所以成立，

所以成立.

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知實數(shù)及函數(shù)

（1）若，求的單調(diào)區(qū)間；

（2）設(shè)集合，使在上恒成立的的取值范圍記作集合，求證： 是的真子集.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，在三棱錐中，平面平面， ， ．

（1）求直線與平面所成角的正弦值；

（2）若動點在底面邊界及內(nèi)部，二面角的余弦值為，求的最小值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】平面直角坐標系中，圓的圓心為.已知點，且為圓上的動點，線段的中垂線交于點.

（Ⅰ）求點的軌跡方程；

（Ⅱ）設(shè)點的軌跡為曲線，拋物線： 的焦點為.， 是過點互相垂直的兩條直線，直線與曲線交于， 兩點，直線與曲線交于， 兩點，求四邊形面積的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)（是自然對數(shù)的底數(shù)）

（1）若直線為曲線的一條切線，求實數(shù)的值；

（2）若函數(shù)在區(qū)間上為單調(diào)函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍；

（3）設(shè)，若在定義域上有極值點（極值點是指函數(shù)取得極值時對應(yīng)的自變量的值），求實數(shù)的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，已知四棱錐， 平面，底面中， ， ，且， 為的中點．

（1）求證：平面平面；

（2）問在棱上是否存在點，使平面，若存在，請求出二面角的余弦值；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知橢圓的離心率，左、右焦點分別為，且與拋物線的焦點重合.

（1）求橢圓的標準方程；

（2）若過的直線交橢圓于兩點，過的直線交橢圓于兩點，且，求的最小值.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】在平面直角坐標系中，曲線的參數(shù)方程是 (為參數(shù))，以原點為極點， 軸正半軸為極軸，建立極坐標系，直線的極坐標方程為.

(Ⅰ)求曲線的普通方程與直線的直角坐標方程；

(Ⅱ)已知直線與曲線交于， 兩點，與軸交于點，求.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】某餐廳通過查閱了最近5次食品交易會參會人數(shù) (萬人)與餐廳所用原材料數(shù)量 (袋)，得到如下統(tǒng)計表：

第一次

第二次

第三次

第四次

第五次

參會人數(shù) (萬人)

13

9

8

10

12

原材料 (袋)

32

23

18

24

28

（1）根據(jù)所給5組數(shù)據(jù)，求出關(guān)于的線性回歸方程.

（2）已知購買原材料的費用 (元)與數(shù)量 (袋)的關(guān)系為，

投入使用的每袋原材料相應(yīng)的銷售收入為700元，多余的原材料只能無償返還，據(jù)悉本次交易大會大約有15萬人參加，根據(jù)(1)中求出的線性回歸方程，預(yù)測餐廳應(yīng)購買多少袋原材料，才能獲得最大利潤，最大利潤是多少？(注：利潤銷售收入原材料費用).

參考公式： ， .

參考數(shù)據(jù)： ， ， .

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同步練習冊答案