【題目】如圖,已知四棱錐, 平面,底面中, , ,且, 為的中點.
(1)求證:平面平面;
(2)問在棱上是否存在點,使平面,若存在,請求出二面角的余弦值;若不存在,請說明理由.
【答案】(1)見解析;(2)
【解析】試題分析:(1)要證平面平面,即證平面,即證:
(2) 存在點使平面,在內(nèi),過做垂足為,易知為二面角的平面角,從而得到結果.
試題解析:
方法一:(1)證明:∵平面, 平面,
∴. ∵為的中點,且梯形中, ,
∴
∵平面, 平面,且
∴平面.
平面, ∴平面⊥平面
(2)存在點使平面,在內(nèi),過做垂足為
由(1)平面, 平面, ,
, 平面
又平面, 平面 知 ,
∵平面平面
∴為二面角的平面角.
在中, , ,
,
故二面角的余弦值為.
方法二:
∴以為原點,射線, , 分別為, , 軸的正半軸,建立空間直角坐標系如圖
,
,
為的中點,∴,
(1)
∴,
平面, 平面,且
∴平面.
平面, ∴平面⊥平面
(2)存在點使平面,在內(nèi),過做垂足為
由(1)平面, 平面, ,
, 平面
設平面的一個法向量為,
則,
,
取.
平面
是平面的一個法向量.
由圖形知二面角的平面角是銳角,
故
所以二面角余弦值為
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】我校為豐富師生課余活動,計劃在一塊直角三角形的空地上修建一個占地面積為(平方米)的矩形健身場地,如圖,點在上,點在上,且點在斜邊上,已知, 米, 米, .設矩形健身場地每平方米的造價為元,再把矩形以外(陰影部分)鋪上草坪,每平方米的造價為元(為正常數(shù))
(1)試用表示,并求的取值范圍;
(2)求總造價關于面積的函數(shù);
(3)如何選取,使總造價最低(不要求求出最低造價)
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】現(xiàn)在的人基本每天都離不開手機,許多人手機一旦不在身邊就不舒服,幾乎達到手機二十四小時不離身,這類人群被稱為“手機控”,這一群體在大學生中比較突出.為了調(diào)查大學生每天使用手機的時間,某調(diào)查公司針對某高校男生、女生各25名學生進行了調(diào)查,其中每天使用手機時間超過8小時的被稱為:“手機控”,否則被稱為“非手機控”.調(diào)查結果如下:
手機控 | 非手機控 | 合計 | |
女生 | 5 | ||
男生 | 10 | ||
合計 | 50 |
(1)將上面的列聯(lián)表補充完整,再判斷是否有99.5%的把握認為“手機控”與性別有關,說明你的理由;
(2)現(xiàn)從被調(diào)查的男生中按分層抽樣的方法選出5人,再從這5人中隨機選取3人參加座談會,記這3人中“手機控”的人數(shù)為,試求的分布列與數(shù)學期望.
參考公式: ,其中.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知橢圓的左、右焦點分別為, , 為橢圓的上頂點, 為等邊三角形,且其面積為, 為橢圓的右頂點.
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)若直線與橢圓相交于兩點(不是左、右頂點),且滿足,試問:直線是否過定點?若過定點,求出該定點的坐標,否則說明理由.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)若,討論函數(shù)的單調(diào)性;
(2)若函數(shù)在上恒成立,求實數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】高考復習經(jīng)過二輪“見多識廣”之后,為了研究考前“限時搶分”強化訓練次數(shù)與答題正確率的關系,對某校高三某班學生進行了關注統(tǒng)計,得到如表數(shù)據(jù):
1 | 2 | 3 | 4 | |
20 | 30 | 50 | 60 |
(1)求關于的線性回歸方程,并預測答題正確率是的強化訓練次數(shù)(保留整數(shù));
(2)若用()表示統(tǒng)計數(shù)據(jù)的“強化均值”(保留整數(shù)),若“強化均值”的標準差在區(qū)間內(nèi),則強化訓練有效,請問這個班的強化訓練是否有效?
附:回歸直線的斜率和截距的最小二乘法估計公式分別為:
, ,樣本數(shù)據(jù), ,…, 的標準差為
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