Question

已知數(shù)列{a_n}滿足a1=

4

3

，3a_n+1=a_n+2，n∈N₊．
（1）求證：數(shù)列{a_n-1}為等比數(shù)列．
（2）設(shè)bn=log

1

3

(an-1)，求數(shù)列{

1

bn×bn+1

}的前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,等比關(guān)系的確定,數(shù)列遞推式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由已知

an+1-1

an-1

=

1 3 an+ 2 3 -1

an-1

=

1 3 (an-1)

an-1

=

1

3

，由此能證明數(shù)列{a_n-1}是等比數(shù)列．
（2）由an-1=(a1-1)×(

1

3

)n-1=(

1

3

)n，得bn=log

1

3

(an-1)=log

1

3

(

1

3

)n=n，由此利用裂項(xiàng)求和法能求出數(shù)列{

1

bn×bn+1

}的前n項(xiàng)和．

解答： （1）證明：∵數(shù)列{a_n}滿足a1=

4

3

，3a_n+1=a_n+2，n∈N₊，
∴

an+1-1

an-1

=

1 3 an+ 2 3 -1

an-1

=

1 3 (an-1)

an-1

=

1

3

，…（4分）
∴數(shù)列{a_n-1}是等比數(shù)列．…（5分）
（2）解：由（1）得數(shù)列{a_n-1}為等比數(shù)列，
且公比為

1

3

，
∴an-1=(a1-1)×(

1

3

)n-1=(

1

3

)n，…（7分）
∴bn=log

1

3

(an-1)=log

1

3

(

1

3

)n=n，…（8分）
∴

1

bn×bn+1

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，…（9分）
∴Sn=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

=1-

1

n+1

=

n

n+1

．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查等比數(shù)列的證明、前n項(xiàng)和公式的求法，考查等差數(shù)列、等比數(shù)列等基礎(chǔ)知識(shí)，考查抽象概括能力，推理論證能力，運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想，解題時(shí)要注意裂項(xiàng)求和法的合理運(yùn)用．