Question

已知函數(shù)f（x）=1+x-

x2

2

+

x3

3

-

x4

4

+…+

x2013

2013

，設(shè)F（x）=f（x+4），且函數(shù)F（x）的零點(diǎn)均在區(qū)間[a，b]（a＜b，a，b∈Z）內(nèi)，圓x²+y²=b-a的面積的最小值是（　�。�

A．π

B．2π

C．3π

D．4π

Answer 1

分析：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)f（x）的單調(diào)性，得函數(shù)f（x）是R上的增函數(shù)．再用零點(diǎn)存在性定理，得f（x）在R上有唯一零點(diǎn)x₀∈（-1，0），結(jié)合函數(shù)圖象的平移知識(shí)可得數(shù)F（x）的零點(diǎn)必在區(qū)間（-5，-4）．由此不難得到b-a的最小值，進(jìn)而得到所求圓面積的最小值．

解答：解：∵f（x）=1+x-

x2

2

+

x3

3

-

x4

4

+…+

x2013

2013

，
∴當(dāng)x＜-1或x＞-1時(shí)，f'（x）=1-x+x²-x³+…+x²⁰¹²=

1+x2013

1+x

＞0．
而當(dāng)x=-1時(shí)，f'（x）=2013＞0
∴f'（x）＞0對(duì)任意x∈R恒成立，得函數(shù)f（x）是（-∞，+∞）上的增函數(shù)
∵f（-1）=（1-1）+（-

1

2

-

1

3

）+…+（-

1

2012

-

1

2013

）＜0，f（0）=1＞0
∴函數(shù)f（x）在R上有唯一零點(diǎn)x₀∈（-1，0）
∵F（x）=f（x+4），得函數(shù)F（x）的零點(diǎn)是x₀-4∈（-5，-4）
∴a≤-5且b≥-4，得b-a的最小值為-4-（-5）=1
∵圓x²+y²=b-a的圓心為原點(diǎn)，半徑r=

b-a

∴圓x²+y²=b-a的面積為πr²=π（b-a）≤π，可得面積的最小值為π
故選：A

點(diǎn)評(píng)：本題給出關(guān)于x的多項(xiàng)式函數(shù)，求函數(shù)零點(diǎn)所在的區(qū)間長(zhǎng)度的最小值．著重考查了函數(shù)的零點(diǎn)、圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，屬于中檔題．