Question

5．定義在（-1，1]的函數(shù)f（x）滿足f（x）+1=$\frac{1}{f（x+1）}$，且當x∈[0，1]時，f（x）=-x，若g（x）=f（x）+kx+k有一個零點，則實數(shù)k的取值范圍是（　�。�

• A． [2，+∞）
• B． [0，$\frac{1}{2}$]∪（2，+∞）
• C． （-$\frac{1}{2}$，+∞）
• D． [-$\frac{1}{2}$，0]∪[2，+∞）

Answer 1

分析 確定分段函數(shù)的解析式，分別研究函數(shù)的單調(diào)性，從而得出函數(shù)的零點情況．

解答 解：①當x∈[0，1]時，f（x）=-x，g（x）=f（x）+kx+k=-x+kx+k有一個零點，
則g（0）g（1）＜0，即k（2k-1）＜0，解得0＜k＜$\frac{1}{2}$，
若k=0，g（x）=-x，有一個零點0；
若k=$\frac{1}{2}$，g（x）=-$\frac{1}{2}$x+$\frac{1}{2}$，有一個零點1，∴k∈[0，$\frac{1}{2}$]；
②x∈（-1，0）時，x+1∈（0，1），f（x+1）=-x-1，
f（x）+1=$\frac{1}{-x-1}$，∴f（x）=-1-$\frac{1}{x+1}$；
∴g（x）=-1-$\frac{1}{x+1}$+kx+k，g（0）=k-2，
g'（x）=$\frac{1}{{（x+1）}^{2}}$+k；
當k=0時，g（x）單調(diào)增，g（0）=-2，此時無零點；
當k＞0時，g′（x）＞0恒成立，x∈（-1，0）時，
x→-1，g（x）→-∞，x→0，g（x）=k-2＞0，即k＞2，
∴此時g（x）在（-1，0 ）上必然有一個零點；
當k＜0時，令g′（x）=0，考慮到x∈（-1，0 ），此時沒有零點；
綜上，0＜k≤$\frac{1}{2}$．
故選：B．

點評 本題考查了分段函數(shù)的解析式與函數(shù)零點的應用問題，解題的關(guān)鍵是確定分段函數(shù)的解析式，是綜合性題目．