Question

14．設(shè)定義在（0，+∞）上的單調(diào)函數(shù)f（x）對任意的x∈（0，+∞）都有f（f（x）-log₂x）=6，若x₀是方程f（x）-f′（x）=4的一個解，且x₀∈（a，a+1），a∈N，則a等于（　�。�

• A． 0
• B． 1
• C． 2
• D． 3

Answer 1

分析 由題意可得f（x）-log₂x為定值，設(shè)為t，代入可得t=4，進(jìn)而可得函數(shù)的解析式，化方程有解為函數(shù)F（x）=f（x）-f′（x）-4=log₂x-$\frac{1}{xln2}$有零點(diǎn)，易得F（1）＜0，F(xiàn)（2）＞0，由零點(diǎn)的判定可得答案

解答 解：根據(jù)題意，對任意的x∈（0，+∞），都有f[f（x）-log₂x]=6，
又由f（x）是定義在（0，+∞）上的單調(diào)函數(shù)，
則f（x）-log₂x為定值，
設(shè)t=f（x）-log₂x，則f（x）=t+log₂x，
又由f（t）=6，可得t+log₂t=6，
可解得t=4，故f（x）=4+log₂x，f′（x）=$\frac{1}{xln2}$，
又x₀是方程f（x）-f′（x）=4的一個解，
所以x₀是函數(shù)F（x）=f（x）-f′（x）-4=log₂x-$\frac{1}{xln2}$的零點(diǎn)，
分析易得F（1）=-$\frac{1}{ln2}$＜0，F(xiàn)（2）=1-$\frac{1}{2ln2}$=1-$\frac{1}{ln4}$＞0，
故函數(shù)F（x）的零點(diǎn)介于（1，2）之間，故a=1，
故選：B．

點(diǎn)評 本題考查函數(shù)的零點(diǎn)的判斷，涉及導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算和性質(zhì)，屬中檔題．