Question

已知函數(shù)f（x）=

lnx，x≥1 x2+2x+a，x＜1

（a為常數(shù)）的圖象在點(diǎn)A（1，0）處的切線與該函數(shù)的圖象恰好有三個(gè)公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線方程，利用分段函數(shù)與切線有三個(gè)不同的交點(diǎn)，得到當(dāng)x＜1時(shí)，切線和二次函數(shù)有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，利用數(shù)形結(jié)合，即可求得a的取值范圍．

解答： 解：當(dāng)x≥1，函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)，f'（x）=

1

x

，則f'（1）=1，
則在A（1，0）處的切線方程為y-0=（x-1），即y=x-1．
當(dāng)x≥1時(shí)，切線和函數(shù)f（x）=lnx有2個(gè)交點(diǎn)，
∴要使切線與該函數(shù)的圖象恰好有三個(gè)公共點(diǎn)，
則當(dāng)x＜1時(shí)，函數(shù)f（x）=x²+2x+a=x-1，有2個(gè)交點(diǎn)，
即x²+x=-a-1在x＜1時(shí)，有2個(gè)不同的根，
設(shè)g（x）=x²+x，
則g（x）=（x+

1

2

）²-

1

4

，
∵x＜1，
∴當(dāng)x=-

1

2

時(shí)，g（x）=-

1

4

，
當(dāng)x=1時(shí)，g（x）=2，
要使x²+x=-a-1在x＜1時(shí)，有2個(gè)不同的根，
則滿足-

1

4

＜-a-1＜2，
即-3＜a＜-

3

4

，
∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是（-3，-

3

4

），
故答案為：（-3，-

3

4

）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，以及函數(shù)交點(diǎn)問題，利用二次函數(shù)的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．考查學(xué)生分析問題的能力，綜合性較強(qiáng)．