Question

已知函數(shù)f（x）=x+

1

x

，x∈（1，+∞）．
（Ⅰ）證明f（x）在區(qū)間（1，+∞）是單調(diào)增函數(shù)；
（Ⅱ）判斷f（m）與f（m+1）的大小，其中m＞1．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明,分段函數(shù)的應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）用函數(shù)單調(diào)性的定義證明f（x）在區(qū)間[1，+∞）上是增函數(shù)；
（Ⅱ）借助增函數(shù)來進(jìn)行判斷．

解答： 解：（Ⅰ）任取x₁，x₂∈（1，+∞），且1≤x₁＜x₂，則f（x₂）-f（x₁）=（x₂+

1

x2

）-（x₁+

1

x1

）=（x₂-x₁）+

x1-x2

x1x2

=

(x2-x1)(x1x2-1)

x1x2

；
∵x₂-x₁＞0，x₁x₂＞1，∴x₁x₂-1＞0，∴f（x₂）-f（x₁）＞0，即f（x₂）＞f（x₁），
∴函數(shù)在區(qū)間（1，+∞）上是增函數(shù)；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，函數(shù)在區(qū)間（1，+∞）上是增函數(shù)，
又m＞1，m+1＞m＞1，
∴f（m）＜f（m+1）．

點(diǎn)評：本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性的定義以及應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．