Question

已知等差數(shù)列{a_n}中a₂=8，S₁₀=185．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式a_n；
（2）若從數(shù)列{a_n}中依次取出第2，4，8，…，2ⁿ，…項，按原來的順序排成一個新數(shù)列{b_n}，試求{b_n}的前n項和A_n．

Answer 1

分析：（1）由題意等差數(shù)列{a_n}中a₂=8，S₁₀=185，利用通項公式及前n項和公式建立首項與公差的方程求出即可得到數(shù)列{a_n}的通項公式a_n；
（2）從數(shù)列{a_n}中依次取出第2，4，8，…，2ⁿ，…項，按原來的順序排成一個新數(shù)列{b_n}，研究知其通項是3×2ⁿ+2，故求{b_n}的前n項和A_n時要用分組求和法．

解答：解：（1）設{a_n}的首項為a₁，公差為d，
∴

a1+d=8 10(2a1+9d) 2 =185

a1=5 d=3

∴a_n=5+3（n-1），即a_n=3n+2
（2）設b₁=a₂，b₂=a₄，b₃=a₈，b_n=a2n=3×2ⁿ+2
∴A_n=（3×2+2）+（3×2²+2）+…+（3×2ⁿ+2）=3×（2+2²+…+2ⁿ）+2n=3×

2(2n-1)

2-1

+2n=6×2ⁿ-6+2n

點評：本題考查等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合，考查由等差數(shù)列的性質(zhì)求其通項，以及據(jù)其性質(zhì)構(gòu)造等比數(shù)列，利用分組求和的技巧求新數(shù)列的和，其特征是一個數(shù)列的通項如果一個等差數(shù)列的項與一個等比數(shù)列的項，則可以采用分組的方法求和．