Question

已知函數(shù)f（x）=e^x-e^-x-2x
（Ⅰ）討論f（x）的單調(diào)性；
（Ⅱ）設(shè)g（x）=f（2x）-4bf（x），當(dāng)x＞0時(shí)，g（x）＞0，求b的最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：計(jì)算題,分類討論,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：對(duì)第（Ⅰ）問，直接求導(dǎo)后，利用基本不等式可達(dá)到目的；
對(duì)第（Ⅱ）問，先驗(yàn)證g（0）=0，只需說明g（x）在[0+∞）上為增函數(shù)即可，從而問題轉(zhuǎn)化為“判斷g'（x）＞0是否成立”的問題．

解答： 解：（Ⅰ）由f（x）得f'（x）=e^x+e^-x-2≥2

ex•e-x

-2=0，
即f'（x）≥0，當(dāng)且僅當(dāng)e^x=e^-x即x=0時(shí)，f'（x）=0，
∴函數(shù)f（x）在R上為增函數(shù)；
（Ⅱ）g（x）=f（2x）-4bf（x）=e^2x-e^-2x-4b（e^x-e^-x）+（8b-4）x，
則g'（x）=2[e^2x+e^-2x-2b（e^x+e^-x）+（4b-2）]
=2[（e^x+e^-x）²-2b（e^x+e^-x）+（4b-4）]
=2（e^x+e^-x-2）（e^x+e^-x-2b+2）．
①∵e^x+e^-x≥2，e^x+e^-x+2≥4，
∴當(dāng)2b≤4，即b≤2時(shí)，g'（x）≥0，當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)取等號(hào)，
從而g（x）在R上為增函數(shù)，而g（0）=0，
∴x＞0時(shí)，g（x）＞0，符合題意．
②當(dāng)b＞2時(shí)，若x滿足2＜e^x+e^-x＜2b-2即0＜x＜ln（b-1+

b2-2b

）時(shí)，g'（x）＜0，
又由g（0）=0知，當(dāng)0＜x≤ln（b-1+

b2-2b

）時(shí)，g（x）＜0，不符合題意．
綜合①、②知，b≤2，得b的最大值為2．

點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求單調(diào)區(qū)間和求極值、最值，考查分類討論的思想方法和運(yùn)算求解能力，屬于中檔題和易錯(cuò)題．