Question

已知△ABC的周長為12，頂點A，B的坐標分別為(－2,0)，(2,0)，C為動點．

(1)求動點C的軌跡E的方程；

(2)過原點作兩條關于y軸對稱的直線(不與坐標軸重合)，使它們分別與曲線E交于兩點，求四點所對應的四邊形的面積的最大值．

 

Answer 1

（1）＋＝1(x≠±4)

（2）16

【解析】(1)由題意知|CA|＋|CB|＝12－4＝8>|AB|，所以C的軌跡E為橢圓的一部分．

由a＝4，c＝2，可得b2＝12．

故曲線E的方程為＋＝1(x≠±4)．

(2)設兩直線的方程為y＝kx與y＝－kx(k>0)．記y＝kx與曲線E在第一象限內的交點為(x0，y0)，由，可得x02＝．

結合圖形的對稱性可知：四交點對應的四邊形為矩形，且其面積S＝2x0·2y0＝4kx02＝．

因為k>0，所以S＝≤＝16 (當且僅當k＝時取等號)．故四邊形面積的最大值為16．