Question

直角△POB中，∠PBO=90°，以O(shè)為圓心、OB為半徑作圓弧交OP于A點(diǎn)．若弧AB等分△POB的面積，∠AOB=α弧度，給出下列關(guān)系式：（1）tanα=2α（2）tanα＞2sinα（3）tanα＞sin2α（4）sinα=2cosα
（5）sin2α=2α（1+cos2α）則正確的個(gè)數(shù)為（　�。�

A．1個(gè)

B．2個(gè)

C．3個(gè)

D．4個(gè)

Answer 1

分析：（1）根據(jù)題意設(shè)出扇形的半徑，表示出扇形的面積，再計(jì)算出直角三角形的面積，結(jié)合條件可得tanα=2α．
（2）（3）（5）分別對(duì)結(jié)論進(jìn)行化簡(jiǎn)，再結(jié)合（1）的正確結(jié)論進(jìn)而證明此結(jié)論正確．
（4）假設(shè)此結(jié)論正確，再結(jié)合（1）得到矛盾，進(jìn)而證明sinα=2cosα錯(cuò)誤．

解答：解：（1）設(shè)扇形的半徑為r，由扇形的面積公式可得：扇形的面積為

1

2

 α r²，
在Rt△POB中，PB=rtanα，所以△POB的面積為

1

2

r×rtanα，
由題意得：

1

2

r×rtanα=2×

1

2

 α r²，即tanα=2α．
所以（1）正確．
（2）由題意可得：tanα＞2sinα整理可得cosα＜

1

2

，
因?yàn)镾_△OAB＜S_扇形=

1

2

S△POB，
所以O(shè)A＜

1

2

OP，即OB＜

1

2

OP，
所以cosα=

OB

OP

＜

1

2

，即tanα＞2sinα．
所以（2）正確．
（3）由題意可得：tanα＞sin2α化簡(jiǎn)整理可得cos²α＜

1

2

，
由（2）可得cosα＜

1

2

，所以cos²α＜

1

2

一定成立，
所以（3）正確．
（4）若sinα=2cosα則tanα=2，所以由（1）可得α=1，即得到tanα=2，
與tan1≠2矛盾，所以sinα=2cosα錯(cuò)誤．
所以（4）錯(cuò)誤．
（5）由sin2α=2α（1+cos2α）結(jié)合二倍角公式化簡(jiǎn)可得：2α=

sin2α

1+cos2α

=

2sinαcosα

1+2cos2α-1

=tanα，
所以由（1）可得sin2α=2α（1+cos2α）正確．
所以（5）正確．
故選D．

點(diǎn)評(píng)：本題考查扇形的面積公式，以及二倍角公式、余弦函數(shù)性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，此題綜合性較強(qiáng)，屬于中檔題．