Question

9．設數列{a_n}的前n項和為S_n．若對?n∈N^*，總?k∈N^*，使得S_n=a_k，則稱數列{a_n}是“G數列”．
（Ⅰ）若數列{a_n}是等差數列，其首項a₁=1，公差d=-1．證明：數列{a_n}是“G數列”；
（Ⅱ）若數列{a_n}的前n項和S_n=3ⁿ（n∈N^*），判斷數列{a_n}是否為“G數列”，并說明理由；
（Ⅲ）證明：對任意的等差數列{a_n}，總存在兩個“G數列”{b_n}和{c_n}，使得a_n=b_n+c_n（n∈N^*）成立．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據G數列的定義證明即可，
（Ⅱ）由${a_n}=\left\{\begin{array}{l}3，n=1\\ 2×{3^{n-1}}，n≥2\end{array}\right.$，可以判斷數列{a_n}不是“G數列”，
（Ⅲ）若d_n=bn，（b為常數），可與判斷數列{d_n}是“G數列”，繼而可以證明a_n=b_n+c_n（n∈N^*）成立．

解答 解：（1）證明：由題意a_n=1+（n-1）（-1）=2-n，
${S_n}=n+\frac{n（n-1）}{2}（-1）$，
若${S_n}=n+\frac{n（n-1）}{2}（-1）={a_k}=2-k$，
則$k=2+\frac{n（n-1）}{2}-n$．
所以，存在k∈N^*，使得S_n=a_k．
所以，數列{a_n}是“G數列．
（Ⅱ）首先a₁=S₁=3，
當n≥2時，${a_n}={S_n}-{S_{n-1}}=2×{3^{n-1}}$，
所以${a_n}=\left\{\begin{array}{l}3，n=1\\ 2×{3^{n-1}}，n≥2\end{array}\right.$
 當n=2時，9=2×3^k-1，得k∉N^*因此數列{a_n}不是“G數列”．
（Ⅲ）若d_n=bn，（b為常數），
則數列{d_n}的前n項和${S_n}=\frac{n（n+1）}{2}b$是數列{d_n}中的第$\frac{n（n+1）}{2}$項，因此數列{d_n}是“G數列”．
對任意的等差數列{a_n}，a_n=a₁+（n-1）d，（d為公差），
設b_n=na₁，c_n=（d-a₁）（n-1），
則a_n=b_n+c_n，而數列{b_n}和{c_n}都是“G數列”．

點評 本題考查數列{a_n}是“G數列”的證明，考查學生解決問題，分析問題的能力，是中檔題．