Question

【題目】如圖，四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB∥CD，∠DAB＝60°，AB＝AD＝2CD＝2，側面PAD⊥底面ABCD，且△PAD是以AD為底的等腰三角形．

(Ⅰ)證明：AD⊥PB；

(Ⅱ)若四棱錐P－ABCD的體積等于，平面CMN∥平面PAD，且分別交PB，AB于點M，N，試確定M，N的位置，并求△CMN的面積．

Answer 1

【答案】(Ⅰ)見解析(Ⅱ) 見解析

【解析】

試題分析：(1) 取AD的中點G,通過證明AD⊥面PGB，可得AD⊥PB.

(2) 先證明PG⊥底面ABCD，由VP－ABCD＝×PG×＝，得PG＝，進而求得CN＝2，CM＝，及S△CMN.

試題解析：(Ⅰ)證明：取AD的中點G，連接PG，GB，

因為PA＝PD，

所以PG⊥AD，

因為AB＝AD，∠DAB＝60°，

所以△DAB是等邊三角形，所以BG⊥AD，

又因為PG∩BG＝G，PG，BG面PGB，

所以AD⊥面PGB，所以AD⊥PB.

(Ⅱ)解：分別取PB，AB的中點M，N，

則MN∥PA，

因為ABCD是梯形，且DC∥AB，DC＝AB，

所以CD∥AN，DC＝AN，于是ANCD為平行四邊形，所以CN∥AM，

所以面CMN∥面PAD，

因為側面PAD⊥底面ABCD，PG⊥AD，

所以PG⊥底面ABCD，

又ABCD的面積為(1＋2)×＝，

所以VP－ABCD＝×PG×＝，得PG＝，

所以PA＝＝2，得MN＝1，CN＝2，

在△PBC和△CBM中，=，

所以△PBC∽△CBM，得CM＝，

所以△CNM是直角三角形，

S△CMN＝·MN·CM＝.