【題目】如圖,在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中,底面四邊形ABCD為菱形,A1A=AB=2,∠ABC= ,E,F(xiàn)分別是BC,A1C的中點.
(1)求異面直線EF,AD所成角的余弦值;
(2)點M在線段A1D上, =λ.若CM∥平面AEF,求實數(shù)λ的值.
【答案】
(1)解:因為四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1為直四棱柱,
所以A1A⊥平面ABCD.
又AE平面ABCD,AD平面ABCD,
所以A1A⊥AE,A1A⊥AD.
在菱形ABCD中∠ABC= ,則△ABC是等邊三角形.
因為E是BC中點,所以BC⊥AE.
因為BC∥AD,所以AE⊥AD.
建立空間直角坐標系.則A(0,0,0),C( ,1,0),D(0,2,0),
A1(0,0,2),E( ,0,0),F(xiàn)( , ,1).
=(0,2,0), =(﹣ , ,1),
所以異面直線EF,AD所成角的余弦值為 =
(2)解:設M(x,y,z),由于點M在線段A1D上,且 =λ,
則(x,y,z﹣2)=λ(0,2,﹣2).
則M(0,2λ,2﹣2λ), =(﹣ ,2λ﹣1,2﹣2λ).
設平面AEF的法向量為 =(x0,y0,z0).
因為 =( ,0,0), =( , ,1),
由 ,得x0=0, y0+z0=0.
取y0=2,則z0=﹣1,
則平面AEF的一個法向量為n=(0,2,﹣1)
由于CM∥平面AEF,則
【解析】(1)建立坐標系,求出直線的向量坐標,利用夾角公式求異面直線EF,AD所成角的余弦值;(2)點M在線段A1D上, =λ.求出平面AEF的法向量,利用CM∥平面AEF,即可求實數(shù)λ的值.
【考點精析】掌握異面直線及其所成的角和直線與平面平行的性質是解答本題的根本,需要知道異面直線所成角的求法:1、平移法:在異面直線中的一條直線中選擇一特殊點,作另一條的平行線;2、補形法:把空間圖形補成熟悉的或完整的幾何體,如正方體、平行六面體、長方體等,其目的在于容易發(fā)現(xiàn)兩條異面直線間的關系;一條直線與一個平面平行,則過這條直線的任一平面與此平面的交線與該直線平行;簡記為:線面平行則線線平行.
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【題目】選修4-4:坐標系與參數(shù)方程
在平面直角坐標系中,已知直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),以坐標原點為極點,以軸正半軸為極軸建立極坐標系,曲線的極坐標方程為,直線與曲線交于兩點.
(1)求直線l的普通方程和曲線的直角坐標方程;
(2)已知點的極坐標為,求的值.
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【題目】(本題滿分12分)如圖,在四棱錐P—ABCD中,已知PA⊥平面ABCD,且四邊形ABCD為直角梯形,∠ABC=∠BAD=,PA=AD=2,AB=BC=1.
(1)求點D到平面PBC的距離;
(2)設Q是線段BP上的動點,當直線CQ與DP所成的角最小時,求二面角B-CQ-D的余弦值.
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【題目】在△ABC中,邊a、b、c分別是角A、B、C的對邊,且滿足bcosC=(3a-c)cosB
(1)求cosB
(2)若△ABC的面積為4,b=4,求△ABC的周長
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【題目】如圖,將邊長為1的正方形沿對角線折起,使得平面平面,在折起后形成的三棱錐中,給出下列四種說法:
①是等邊三角形;②;③;④直線和所成的角的大小為.其中所有正確的序號是( )
A. ①③B. ②④C. ①②③D. ①②④
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【題目】假定某射手射擊一次命中目標的概率為.現(xiàn)有4發(fā)子彈,該射手一旦射中目標,就停止射擊,否則就一直獨立地射擊到子彈用完.設耗用子彈數(shù)為X,求:
(1)X的概率分布;
(2)數(shù)學期望E(X).
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【題目】某市電視臺為了宣傳舉辦問答活動,隨機對該市15~65歲的人群抽樣了人,回答問題計結果如下圖表所示:
(1)分別求出的值;
(2)從第2,3,4組回答正確的人中用分層抽樣的方法抽取6人,則第2,3,4組每組各抽取多少人?
(3)在(2)的前提下,電視臺決定在所抽取的6人中隨機抽取2人頒發(fā)幸運獎,求所抽取的人中第2組至少有1人獲得幸運獎的概率.
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