Question

（2013•普陀區(qū)二模）如圖，正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長為1
（1）求直線DB與平面A₁BCD₁所成角的大小；
（2）求四棱錐D-BCD₁A₁的體積．

Answer 1

分析：（1）建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示．利用斜線的方向向量和平面的法向量的夾角即可得到線面角；
（2）利用點到平面的距離公式及四棱錐的體積計算公式即可得出．

解答：解：（1）以D為坐標(biāo)原點，分別以射線DA、DC、DD₁為x、y、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示．
則D（0，0，0），B（1，1，0），C（0，1，0），D₁（0，0，1）．

DB

=(1，1，0)，

BC

=(-1，0，0)，

CD1

=(0，-1，1)．
設(shè)

n

=(x，y，z)是平面A₁BCD₁的法向量，則

n • BC =0 n • CD1 =0

，即

x=0 z-y=0

令z=1，則y=1，x=0，∴

n

=(0，1，1)．
設(shè)直線DB與平面A₁BCD₁所成角為θ，則sinθ=|cos＜

n

，

DB

＞|=

| n • DB |

| n | | DB |

=

1

2 × 2

=

1

2

．
由于0≤θ≤

π

2

，∴θ=

π

6

．
即直線DB與平面A₁BCD₁所成角的大小為

π

6

；
（2）由（1）得

n0

=

n

| n |

=(0，

1

2

，

1

2

)．
∴點D到平面A₁BCD₁的距離d=|

n0

•

DB

|=

2

2

．
∵四邊形A₁BCD₁是矩形，∴面積S=BC•CD₁=1×

2

=

2

．
∴VD-BCD1A1=

1

3

sh=

1

3

×

2

2

×

2

=

1

3

．

點評：熟練掌握通過建立空間直角坐標(biāo)系，利用斜線的方向向量和平面的法向量的夾角得到線面角；利用向量表示點到平面的距離公式，四棱錐的體積計算公式是解題的關(guān)鍵．