Question

8．為了調(diào)查歐洲某國家女性居民的身高情況，某研究機(jī)構(gòu)在該國家各地區(qū)隨機(jī)抽取了30個(gè)不同國家女性居民進(jìn)行身高測量，現(xiàn)將數(shù)據(jù)展示如下（單位：cm）．
157  168  169  169  172  159  175  175  176  176  191  159  159  173  174
180  181  170  181  187  157  158  161  162  164  165  178  168  182  184
身高超過175cm的女性（包括175cm）定義為“較高人群”；身高在175cm以下（不包括175cm）的女性定義為“一般人群”．
（1）若從上述數(shù)據(jù)中隨機(jī)抽取2個(gè)，求至少有1個(gè)數(shù)據(jù)為“較高人群”數(shù)據(jù)的概率；
（2）用樣本估計(jì)總體，若從該國所有女性居民中隨機(jī)選3人，用X表示所選3人中“較高人群”的人數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析 （1）由已知得30個(gè)女性居民身高中，身高超過175cm的女性（包括175cm）有12人，身高在175cm以下（不包括175cm）的女性18人，由此利用對立事件概率計(jì)算公式能求出從上述數(shù)據(jù)中隨機(jī)抽取2個(gè)，至少有1個(gè)數(shù)據(jù)為“較高人群”數(shù)據(jù)的概率．
（2）用樣本估計(jì)總體，得到該國所有女性居民中“較高人群”的概率為$\frac{12}{30}$=$\frac{2}{5}$，由已知得X～B（3，$\frac{2}{5}$），由此能求出X的分布列和EX．

解答 解：（1）由已知得30個(gè)女性居民身高中，
身高超過175cm的女性（包括175cm）有12人，身高在175cm以下（不包括175cm）的女性18人，
∵身高超過175cm的女性（包括175cm）定義為“較高人群”；身高在175cm以下（不包括175cm）的女性定義為“一般人群”，
∴從上述數(shù)據(jù)中隨機(jī)抽取2個(gè)，至少有1個(gè)數(shù)據(jù)為“較高人群”數(shù)據(jù)的概率：
p=1-$\frac{{C}_{18}^{2}}{{C}_{30}^{2}}$=1-$\frac{51}{145}$=$\frac{94}{145}$．
（2）用樣本估計(jì)總體，得到該國所有女性居民中“較高人群”的概率為$\frac{12}{30}$=$\frac{2}{5}$，
從該國所有女性居民中隨機(jī)選3人，用X表示所選3人中“較高人群”的人數(shù)，
則X～B（3，$\frac{2}{5}$），
P（X=0）=${C}_{3}^{0}（\frac{3}{5}）^{3}$=$\frac{27}{125}$，
P（X=1）=${C}_{3}^{1}（\frac{2}{5}）（\frac{3}{5}）^{2}$=$\frac{54}{125}$，
P（X=2）=${C}_{3}^{2}（\frac{2}{5}）^{2}（\frac{3}{5}）$=$\frac{36}{125}$，
P（X=3）=${C}_{3}^{3}（\frac{2}{5}）^{3}$=$\frac{8}{125}$，
∴X的分布列為：

X	0	1	2	3
P	$\frac{27}{125}$	$\frac{54}{125}$	$\frac{36}{125}$	$\frac{8}{125}$

EX=3×$\frac{2}{5}$=$\frac{6}{5}$．

點(diǎn)評 本題考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意二項(xiàng)分布的性質(zhì)的合理運(yùn)用．