Question

如圖，在正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，已知AB=2，AA₁=5，
E、F分別為D₁D、B₁B上的點(diǎn)，且DE=B₁F=1．
（Ⅰ）求證：BE⊥平面ACF；
（Ⅱ）求點(diǎn)E到平面ACF的距離．

Answer 1

（Ⅰ）如圖，以D為原點(diǎn)，DA、DC、DD₁所在直線分別為x、y、z軸
建立空間直角坐標(biāo)系，則D（0，0，0），A（2，0，0），B（2，2，0），
C（0，2，0），D₁（0，0，5），E（0，0，1），F(xiàn)（2，2，4）
∴

AC

=（-2，2，0），

AF

=（0，2，4），

BE

=（-2，-2，1），

AE

=（-2，0，1）．   
∴

BE

•

AC

=0  

BE

•

AF

=0
∴BE⊥AC，BE⊥AF，且AC∩AF=A
∴BE⊥平面ACF
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，

BE

為平面ACF的一個(gè)法向量    
∴向量

AE

在

BE

上的射影長(zhǎng)即為E到平面ACF的距離，設(shè)為d
于是 d=

AE • BE

| BE |

=

5

3

故點(diǎn)E到平面ACF的距離

5

3