對于任意非零實數(shù)x,y，函數(shù)y=f(x)(x≠0)滿足f（xy）=f(x)+f(y).

（1）求證：f(1)=f(-1)=0；

（2）求證：y=f(x)是偶函數(shù)；

（3）若y=f(x)在（0，+∞）上是增函數(shù)，解不等式f(x)+f(x-)≤0.

(1)證明：令x=y=1,得f(1)=f(1)+f(1),則f(1)=0;又令x=y=-1,得f(1)=f(-1)+f(-1),即0=2f(-1),

    ∴f(-1)=0,故f(1)=f(-1)=0.

(2)證明：∵f(1)=f(x·)=f(x)+f(),f(-1)=f(-x·)=f(-x)+f(),而f(1)=f(-1)=0,

    ∴f(-x)=f(x),

    ∴f(x)是偶函數(shù)，

(3)解析：∵f(x)+f(x-)≤0，即f(x2-x)≤0,而y=f(x)在(0,+∞)上是增函數(shù)，

    ∴f(x2-x)≤f(1),

    ∴

解得  ≤x≤,且x≠0,x≠.


練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知對于任意非零實數(shù)m，不等式|2m-1|+|1-m|≥|m|（|x-1|-|2x+3|）恒成立，求實數(shù)x的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

對于任意非零實數(shù)x，y，已知函數(shù)y=f（x）（x≠0），滿足f（xy）=f（x）+f（y）
（1）求f（1）；f（-1）；
（2）判斷y=f（x）的奇偶性．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知定義在R上的函數(shù)f（x）滿足：f(1)=
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，且對于任意實數(shù)x，y，總有f（x）f（y）=f（x+y）+f（x-y）成立．
（I）求f（0）的值，并證明函數(shù)f（x）為偶函數(shù)；
（II）定義數(shù)列{an}：an=2f（n+1）-f（n）（n=1，2，3，…），求{an}的通項公式；
（III）若對于任意非零實數(shù)y，總有f（y）＞2．證明：對于任意m，n∈N*，若m＞n，則f（m•y）＞f（n•y）．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（Ⅰ）已知函數(shù)f（x）=x3-x，其圖象記為曲線C．
（i）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（ii）證明：若對于任意非零實數(shù)x1，曲線C與其在點P1（x1，f（x1））處的切線交于另一點P2（x2，f（x2）），曲線C與其在點P2（x2，f（x2））處的切線交于另一點P3（x3，f（x3）），線段P1P2，P2P3與曲線C所圍成封閉圖形的面積記為S1，S2．則
S1S2
為定值；
（Ⅱ）對于一般的三次函數(shù)g（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0），請給出類似于（Ⅰ）（ii）的正確命題，并予以證明．

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