對于任意非零實(shí)數(shù)x，y，已知函數(shù)y=f（x）（x≠0），滿足f（xy）=f（x）+f（y）
（1）求f（1）；f（-1）；
（2）判斷y=f（x）的奇偶性．
分析：（1）根據(jù)條件中的恒等式，可對x、y進(jìn)行賦值，令x=y=1，求出f（1）的值，令x=y=-1，求出f（-1）的值；
（2）根據(jù)f（-1）=0，令y=-1，可得到f（-x）與f（x）的關(guān)系，根據(jù)奇偶性的定義可進(jìn)行判定．
解答：解：（1）令x=y=1，得f（1）=f（1）+f（1），
∴f（1）=0，
令x=y=-1，得f（1）=f（-1）+f（-1），
∴f（-1）=0，
綜上，f（1）=0，f（-1）=0，
（2）令y=-1，由f（xy）=f（x）+f（y），得f（-x）=f（x）+f（-1），
又f（-1）=0，
∴f（-x）=f（x），
又∵f（x）不恒為0，
∴f（x）為偶函數(shù)．
點(diǎn)評：本題主要考查了抽象函數(shù)及其應(yīng)用，以及函數(shù)奇偶性的判斷，對于抽象函數(shù)問題，賦值法是常用的方法，屬于基礎(chǔ)題．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知對于任意非零實(shí)數(shù)m，不等式|2m-1|+|1-m|≥|m|（|x-1|-|2x+3|）恒成立，求實(shí)數(shù)x的取值范圍．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知定義在R上的函數(shù)f（x）滿足：f(1)=
52
，且對于任意實(shí)數(shù)x，y，總有f（x）f（y）=f（x+y）+f（x-y）成立．
（I）求f（0）的值，并證明函數(shù)f（x）為偶函數(shù)；
（II）定義數(shù)列{an}：an=2f（n+1）-f（n）（n=1，2，3，…），求{an}的通項(xiàng)公式；
（III）若對于任意非零實(shí)數(shù)y，總有f（y）＞2．證明：對于任意m，n∈N*，若m＞n，則f（m•y）＞f（n•y）．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（Ⅰ）已知函數(shù)f（x）=x3-x，其圖象記為曲線C．
（i）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（ii）證明：若對于任意非零實(shí)數(shù)x1，曲線C與其在點(diǎn)P1（x1，f（x1））處的切線交于另一點(diǎn)P2（x2，f（x2）），曲線C與其在點(diǎn)P2（x2，f（x2））處的切線交于另一點(diǎn)P3（x3，f（x3）），線段P1P2，P2P3與曲線C所圍成封閉圖形的面積記為S1，S2．則
S1S2
為定值；
（Ⅱ）對于一般的三次函數(shù)g（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0），請給出類似于（Ⅰ）（ii）的正確命題，并予以證明．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

對于任意非零實(shí)數(shù)x,y，函數(shù)y=f(x)(x≠0)滿足f（xy）=f(x)+f(y).

（1）求證：f(1)=f(-1)=0；

（2）求證：y=f(x)是偶函數(shù)；

（3）若y=f(x)在（0，+∞）上是增函數(shù)，解不等式f(x)+f(x-)≤0.

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案