Question

10．在長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=BC=1，過A₁、C₁、B三點的平面截去長方體的一個角后，得到如圖所示的幾何體ABCD-A₁C₁D₁，且這個幾何體的體積為$\frac{5}{3}$．則長方體外接球的表面積是6π．

Answer 1

分析 已知幾何體ABCD-A₁C₁D₁的體積為$\frac{5}{3}$，利用等體積法V_ABCD-A1C1D1=V_{ABCD-A1B1C1D1}-V_B-A1B1C1，求出A₁A，求出長方體的對角線長，即可求出長方體外接球的表面積．

解答 解：設(shè)A₁A=h，∵幾何體ABCD-A₁C₁D₁的體積為$\frac{5}{3}$，
∴V_ABCD-A1C1D1=V_{ABCD-A1B1C1D1}-V_B-A1B1C1=$\frac{5}{3}$，
即S_ABCD×h-$\frac{1}{3}$×S△A₁B₁C₁×h=$\frac{5}{3}$，
即1×1×h-$\frac{1}{3}$×$\frac{1}{2}$×1×1×h=$\frac{5}{3}$，解得h=2．
∴A₁A的長為2．
∴長方體的對角線長$\sqrt{1+1+4}$=$\sqrt{6}$，
∴長方體的外接球的半徑為$\frac{\sqrt{6}}{2}$，
∴長方體外接球的表面積是4$π•\frac{6}{4}$=6π．
故答案為：6π．

點評 本題考查長方體外接球的表面積，考查空間想象能力，邏輯思維能力，是中檔題．