Question

已知定義在R上的函數(shù)f（x）=-2x³+bx²+cx（b，c∈R），函數(shù)F（x）=f（x）-3x²是奇函數(shù)，函數(shù)f（x）滿足f′（-1）=0．
（1）求f（x）的解析式；
（2）討論f（x）在區(qū)間（-3，3）上的單調(diào)性．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,函數(shù)解析式的求解及常用方法

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）根據(jù)函數(shù)的奇偶性和導(dǎo)數(shù)公式，求出b，c的值，即可求f（x）的解析式；
（2）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)和單調(diào)性之間的關(guān)系，即可得到（x）在區(qū)間（-3，3）上的單調(diào)性．

解答： 解：（1）∵f（x）=-2x³+bx²+cx，
∴f'（x）=-6x²+2bx+c．
F（x）=f（x）-3x²是奇函數(shù)，得b=3，
f'（-1）=-6-2b+c=0，得c=12，
∴f（x）-2x³+3x²+12．
（2）令f'（x）=-6x²+6x+12=0得x=2或-1

x	（-3，-1）	-1	（-1，2）	2	（2，3）
f′（x）	-	0	+	0	-

∴單調(diào)遞增區(qū)間為（-1，2），單調(diào)遞減區(qū)間為（-3，-1），（2，3）．

點(diǎn)評：本題主要考查函數(shù)解析式和函數(shù)單調(diào)性的判斷，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用函數(shù)單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．