Question

如圖，在△ABC中，AB⊥AC，AD⊥BC，∠ABC=

π

3

，AD=

3

，現(xiàn)沿AD把△ABC折起，使BD⊥DC，E是BC上的中點(diǎn)．
（1）求AE與DB所成角的余弦值；
（2）在線段AB上是否存在一點(diǎn)F，使DF⊥AE？若存在，求出

BF

BA

的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：用空間向量求直線間的夾角、距離,異面直線及其所成的角

專題：計算題,空間向量及應(yīng)用

分析：（1）根據(jù)題意建立空間直角坐標(biāo)系，給出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，求出向量的坐標(biāo)，利用向量的數(shù)量積公式求向量夾角的余弦值；
（2）假設(shè)存在點(diǎn)F，設(shè)

BF

=λ

BA

，根據(jù)直線垂直的條件求出λ的值．

解答： 解：（1）由題意知：∠ABC=

π

3

，DB⊥DC，AD⊥DB，AD⊥DC，
∴AD=

3

，AC=2

3

，AB=2，DB=1，DC=3，
建立空間直角坐標(biāo)系如圖：則A（0，0，

3

），B（1，0，0），C（0，3，0），
E（

1

2

，

3

2

，0），∴

DB

=（1，0，0），

AE

=（

1

2

，

3

2

，-

3

），
∴cos＜

DB

，

AE

＞=

22

22

；
（2）假設(shè)存在點(diǎn)F，

BA

=（-1，0，

3

），

BF

=λ

BA

=（-λ，0，

3

λ），

DF

=

DB

+

BF

=（1-λ，0，

3

λ），
∵DF⊥AE，∴

DF

•

AE

=

1-λ

2

-3λ=0⇒λ=

1

7

．
∴存在一點(diǎn)F，使DF⊥AE，且

BF

BA

的值為

1

7

．

點(diǎn)評：本題考查了利用向量坐標(biāo)運(yùn)算求異面直線所成的角，考查了存在性問題的解法，解題的關(guān)鍵是建立空間直角坐標(biāo)系并給出相關(guān)向量的坐標(biāo)．