Question

 

平面內(nèi)與兩定點(diǎn)連線的斜率之積等于非零常數(shù)的點(diǎn)的軌跡，加上 兩點(diǎn)，所成的曲線可以是圓，橢圓或雙曲線．

（I）求曲線的方程，并討論的形狀與值的關(guān)系．

(Ⅱ)當(dāng)時，對應(yīng)的曲線為；對給定的，對應(yīng)的曲線為，若曲線的斜率為的切線與曲線相交于兩點(diǎn)，且（為坐標(biāo)原點(diǎn)），求曲線的方程．

 

Answer 1

【答案】

 

解：（I）設(shè)動點(diǎn)為M，其坐標(biāo)為，

    當(dāng)時，由條件可得，

即，

又的坐標(biāo)滿足，

故依題意，曲線的方程為．--------------3分

當(dāng)曲線的方程為，是焦點(diǎn)在軸上的橢圓；

當(dāng)時，曲線的方程為，是圓心在原點(diǎn)，半徑為2的圓；

當(dāng)時，曲線的方程為，是焦點(diǎn)在軸上的橢圓；

當(dāng)時，曲線的方程為，是焦點(diǎn)在軸上的雙曲線．

--------6分

（Ⅱ）曲線；，：，

      設(shè)圓的斜率為的切線和橢圓交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）兩點(diǎn)，

    令直線AB的方程為，①

    將其代入橢圓的方程并整理得

   

    由韋達(dá)定理得

            ②

    因?yàn)?nbsp; ，

    所以         ③

    將①代入③并整理得

   

    聯(lián)立②得

               ④

    因?yàn)橹本�AB和圓相切，

    因此，，

    由④得

所以曲線的方程，即．-------12分