Question

設拋物線C：y²=4x的焦點為F，直線l過F且與C交于A，B兩點．若|AF|=3|BF|，則l的方程為（ ）
A．y=x-1或y=-x+1
B．y=（x-1）或 y=-（x-1）
C．y=（x-1）或 y=-（x-1）
D．y=（x-1）或 y=-（x-1）

Answer 1

【答案】分析：根據(jù)題意，可得拋物線焦點為F（1，0），由此設直線l方程為y=k（x-1），與拋物線方程聯(lián)解消去x，得-y-k=0．再設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由根與系數(shù)的關系和|AF|=3|BF|，建立關于y₁、y₂和k的方程組，解之可得k值，從而得到直線l的方程．
解答：解：∵拋物線C方程為y²=4x，可得它的焦點為F（1，0），
∴設直線l方程為y=k（x-1）
由消去x，得-y-k=0
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
可得y₁+y₂=，y₁y₂=-4…（*）
∵|AF|=3|BF|，
∴y₁+3y₂=0，可得y₁=-3y₂，代入（*）得-2y₂=且-3y₂²=-4，
消去y₂得k²=3，解之得k=
∴直線l方程為y=（x-1）或y=-（x-1）
故選：C
點評：本題給出拋物線的焦點弦AB被焦點F分成1：3的兩部分，求直線AB的方程，著重考查了拋物線的標準方程、簡單幾何性質和直線與圓錐曲線的位置關系等知識，屬于中檔題．