標(biāo)準(zhǔn)方程下的橢圓的短軸長(zhǎng)為，焦點(diǎn)，右準(zhǔn)線與軸相交于點(diǎn)，且，過(guò)點(diǎn)的直線和橢圓相交于點(diǎn).

（1）求橢圓的方程和離心率；

（2）若，求直線的方程.

 

【答案】

（1）， ；（2）。

【解析】本試題主要是考查了直線與圓的位置關(guān)系綜合運(yùn)用。

（1）由題意，設(shè)該橢圓方程為，根據(jù)條件有

得到橢圓的方程。

（2）設(shè)直線的方程為，聯(lián)立橢圓方程有

和向量的數(shù)量積為零得到結(jié)論。

解：（1）由題意，設(shè)該橢圓方程為，根據(jù)條件有

，所以橢圓的方程為，離心率

（2）設(shè)直線的方程為，聯(lián)立橢圓方程有

   

又，即，

而

于是有，

由（1）（2）（3）得，，經(jīng)檢驗(yàn)符合

所以直線

 

練習(xí)冊(cè)系列答案
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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（本題滿分18分，其中第1小題6分，第2小題4分，第3小題8分）

定義變換：可把平面直角坐標(biāo)系上的點(diǎn)變換到這一平面上的點(diǎn).特別地，若曲線上一點(diǎn)經(jīng)變換公式變換后得到的點(diǎn)與點(diǎn)重合，則稱點(diǎn)是曲線在變換下的不動(dòng)點(diǎn).

（1）若橢圓的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，且焦距為，長(zhǎng)軸頂點(diǎn)和短軸頂點(diǎn)間的距離為2. 求該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程. 并求出當(dāng)時(shí)，其兩個(gè)焦點(diǎn)、經(jīng)變換公式變換后得到的點(diǎn)和的坐標(biāo)；

（2）當(dāng)時(shí)，求（1）中的橢圓在變換下的所有不動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)；

（3）試探究：中心為坐標(biāo)原點(diǎn)、對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸的雙曲線在變換

：（，）下的不動(dòng)點(diǎn)的存在情況和個(gè)數(shù).

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：上海市普陀區(qū)2010屆高三第二次模擬考試?yán)砜茢?shù)學(xué)試題 題型：解答題

（本題滿分18分，其中第1小題6分，第2小題4分，第3小題8分）

定義變換：可把平面直角坐標(biāo)系上的點(diǎn)變換到這一平面上的點(diǎn).特別地，若曲線上一點(diǎn)經(jīng)變換公式變換后得到的點(diǎn)與點(diǎn)重合，則稱點(diǎn)是曲線在變換下的不動(dòng)點(diǎn).

（1）若橢圓的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，且焦距為，長(zhǎng)軸頂點(diǎn)和短軸頂點(diǎn)間的距離為2. 求該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程. 并求出當(dāng)時(shí)，其兩個(gè)焦點(diǎn)、經(jīng)變換公式變換后得到的點(diǎn)和的坐標(biāo)；

（2）當(dāng)時(shí)，求（1）中的橢圓在變換下的所有不動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)；

（3）試探究：中心為坐標(biāo)原點(diǎn)、對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸的雙曲線在變換

：（，）下的不動(dòng)點(diǎn)的存在情況和個(gè)數(shù).

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：遼寧省模擬題 題型：解答題

已知橢圓C的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2在x軸上，焦距為2，并且橢圓C上的點(diǎn)與焦點(diǎn)最短的距離是1。
（1）求橢圓C的離心率及標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若直線l：y=kx+m（k≠0）與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)M，N，則k與m之間應(yīng)該滿足怎樣的關(guān)系？
（3）在（2）的條件下，且以MN為直徑的圓經(jīng)過(guò)橢圓的右頂點(diǎn)A，求證：直線l必過(guò)定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)的坐標(biāo)。

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：2012年北京市通州區(qū)高考數(shù)學(xué)一模試卷（理科）（解析版） 題型：解答題

已知橢圓C的焦點(diǎn)在y軸上，離心率為，且短軸的一個(gè)端點(diǎn)到下焦點(diǎn)F的距離是．
（I）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（II）設(shè)直線y=-2與y軸交于點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)F的直線l交橢圓C于A，B兩點(diǎn)，求△PAB面積的最大值．

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