如圖,在長方體中,,點是棱上的一個動點.
(1)證明:;
(2)當為的中點時,求點到面的距離;
(3)線段的長為何值時,二面角的大小為.
(1)詳見解析;(2);(3).
解析試題分析:解決立體幾何中的垂直、距離及空間角,有幾何法與空間向量法,其中幾何法,需要學生具備較強的空間想象能力及扎實的立體幾何理論知識;向量法,則要求學生能根據(jù)題意準確建立空間直角坐標系,寫出有效點、有效向量的坐標必須準確無誤,然后將立體幾何中的問題的求解轉(zhuǎn)化為坐標的運算問題,這也需要學生具備較好的代數(shù)運算能力.
幾何法:(1)要證,只須證明平面,然后根據(jù)線面垂直的判定定理進行尋找條件即可;(2)運用的關(guān)系進行計算即可求出點到面的距離;(3)先作于,連接,然后充分利用長方體的性質(zhì)證明為二面角的平面角,最后根據(jù)所給的棱長與角度進行計算即可得到線段的長.
向量法: (1)建立空間坐標,分別求出的坐標,利用數(shù)量積等于零即可;(2)當為的中點時,求點到平面的距離,只需找平面的一條過點的斜線段在平面的法向量上的投影即可;(3)設(shè),因為平面的一個法向量為,只需求出平面的法向量,然后利用二面角為,根據(jù)夾角公式,求出即可.
試題解析:解法一:(1)∵平面,∴,又∵,∩,∴平面, 4分
(2)等體積法:由已知條件可得,,,所以為等腰三角形
=, ,設(shè)點到平面的距離,根據(jù)可得,,即,解得 8分
(3)過點作于,連接
因為平面,所以,又,∩,所以平面
故,
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
在如圖所示的幾何體中,四邊形ABCD為平行四邊形,∠ACB=90°,EA⊥平面ABCD,EF∥AB,FG∥BC,EG∥AC,AB=2EF.若M是線段AD的中點,
求證:GM∥平面ABFE.
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如圖,正方形ABCD和三角形ACE所在的平面互相垂直,EF∥BD,AB=EF.
(1)求證:BF∥平面ACE;
(2)求證:BF⊥BD.
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如圖,平面平面,是等腰直角三角形,,四邊形是直角梯形,∥AE,,,分別為的中點.
(1)求異面直線與所成角的大。
(2)求直線和平面所成角的正弦值.
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如圖1,已知的直徑,點、為上兩點,且,,為弧的中點.將沿直徑折起,使兩個半圓所在平面互相垂直(如圖2).
(Ⅰ)求證:;
(Ⅱ)在弧上是否存在點,使得平面?若存在,試指出點的位置;若不存在,請說明理由;
(Ⅲ)求二面角的正弦值.
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已知三棱柱的側(cè)棱長和底面邊長均為2,在底面ABC內(nèi)的射影O為底面△ABC的中心,如圖所示:
(1)聯(lián)結(jié),求異面直線與所成角的大。
(2)聯(lián)結(jié)、,求三棱錐C1-BCA1的體積.
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