如圖1,已知的直徑,點(diǎn)、上兩點(diǎn),且,為弧的中點(diǎn).將沿直徑折起,使兩個(gè)半圓所在平面互相垂直(如圖2).

(Ⅰ)求證:;
(Ⅱ)在弧上是否存在點(diǎn),使得平面?若存在,試指出點(diǎn)的位置;若不存在,請說明理由;
(Ⅲ)求二面角的正弦值.

(Ⅰ)詳見解析;(Ⅱ)在弧上存在點(diǎn),使得平面,且點(diǎn)為弧的中點(diǎn);(Ⅲ);

解析試題分析:(1)以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn),以AB所在直線為y軸,以O(shè)C所在直線為z軸建立空間直角坐標(biāo)系,求出向量的坐標(biāo),利用向量共線的坐標(biāo)表示求證OF∥AC,從而說明線面平行;(2)假設(shè)在弧上存在點(diǎn)G,使得FG∥平面ACD,根據(jù)(1)中的結(jié)論,利用兩面平行的判定定理得到平面OFG∥平面ACD,從而得到OG∥AD,利用共線向量基本定理得到G的坐標(biāo)(含有參數(shù)),然后由向量的模等于圓的半徑求出G點(diǎn)坐標(biāo);(3)根據(jù),∠DAB=60°求出D點(diǎn)坐標(biāo),然后求出平面ACD的一個(gè)法向量,找出平面ADB的一個(gè)法向量,利用兩平面法向量所成角的余弦值求解二面角C-AD-B的余弦值.
試題解析:(法一):證明:(Ⅰ)連接,
,,
為弧的中點(diǎn),,
(Ⅱ)取弧的中點(diǎn),連接,
,故
由(Ⅰ),知平面,故平面平面,
平面,因此,在弧上存在點(diǎn),使得平面,且點(diǎn)為弧的中點(diǎn).
(Ⅲ)過,連
因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic5/tikupic/b2/7/1jaoq3.png" style="vertical-align:middle;" />,平面平面,故平面
又因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic5/tikupic/9b/8/aahrb2.png" style="vertical-align:middle;" />平面,故,所以平面,,
是二面角的平面角,又,故
平面平面,得為直角三角形,
,故,可得==,故二面角的正弦值為.
(法二):證明:(Ⅰ)如圖,以所在的直線為軸,以所在的直線為軸,以為原點(diǎn),作空間直角坐標(biāo)系,則,


點(diǎn)為弧的中點(diǎn),

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如圖,在四棱錐P­ABCD中,PA⊥底面ABCD,PCAD,底面ABCD為梯形,ABDC,ABBC,PAABBC,點(diǎn)E在棱PB上,且PE=2EB.

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(2)求證:PD∥平面EAC.

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(1)證明:;
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(3)線段的長為何值時(shí),二面角的大小為.

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如圖,已知四邊形均為正方形,平面平面.

(1)求證:平面;
(2)求二面角的大小.

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如圖所示,矩形中,,且交于點(diǎn).

(Ⅰ)求證:;
(Ⅱ)求三棱錐的體積.

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棱長為2的正方體中,E為的中點(diǎn).

(1)求證:;
(2)求異面直線AE與所成的角的正弦值.

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如圖,在四棱錐中,底面是邊長為的正方形, ,且點(diǎn)滿足 .

(1)證明:平面 .
(2)在線段上是否存在點(diǎn),使得平面?若存在,確定點(diǎn)的位置,若不存在請說明理由 .

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如圖,在三棱錐中,點(diǎn)分別是棱的中點(diǎn).

(1)求證://平面;
(2)若平面平面,求證:

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如圖所示,已知AB為圓O的直徑,點(diǎn)D為線段AB上一點(diǎn),且,點(diǎn)C為圓O上一點(diǎn),且.點(diǎn)P在圓O所在平面上的正投影為點(diǎn)D,PD=DB.

(1)求證:;
(2)求二面角的余弦值.

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