Question

如圖1，已知的直徑，點(diǎn)、為上兩點(diǎn)，且，，為弧的中點(diǎn)．將沿直徑折起，使兩個(gè)半圓所在平面互相垂直（如圖2）．

（Ⅰ）求證：；
（Ⅱ）在弧上是否存在點(diǎn)，使得平面？若存在，試指出點(diǎn)的位置；若不存在，請說明理由；
（Ⅲ）求二面角的正弦值.

Answer 1

（Ⅰ）詳見解析;（Ⅱ）在弧上存在點(diǎn)，使得平面，且點(diǎn)為弧的中點(diǎn)；（Ⅲ）;

解析試題分析：（1）以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以AB所在直線為y軸，以O(shè)C所在直線為z軸建立空間直角坐標(biāo)系，求出向量與的坐標(biāo)，利用向量共線的坐標(biāo)表示求證OF∥AC，從而說明線面平行；（2）假設(shè)在弧上存在點(diǎn)G，使得FG∥平面ACD，根據(jù)（1）中的結(jié)論，利用兩面平行的判定定理得到平面OFG∥平面ACD，從而得到OG∥AD，利用共線向量基本定理得到G的坐標(biāo)（含有參數(shù)），然后由向量的模等于圓的半徑求出G點(diǎn)坐標(biāo)；（3）根據(jù)，∠DAB=60°求出D點(diǎn)坐標(biāo)，然后求出平面ACD的一個(gè)法向量，找出平面ADB的一個(gè)法向量，利用兩平面法向量所成角的余弦值求解二面角C-AD-B的余弦值．
試題解析：（法一）：證明：（Ⅰ）連接，
，，
又為弧的中點(diǎn)，，．
（Ⅱ）取弧的中點(diǎn)，連接，
則，故
由（Ⅰ），知平面，故平面平面，
則平面，因此，在弧上存在點(diǎn)，使得平面，且點(diǎn)為弧的中點(diǎn)．
（Ⅲ）過作于，連．
因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic5/tikupic/b2/7/1jaoq3.png" style="vertical-align:middle;" />，平面平面，故平面．
又因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic5/tikupic/9b/8/aahrb2.png" style="vertical-align:middle;" />平面，故，所以平面，，
則是二面角的平面角，又，，故．
由平面，平面，得為直角三角形，
又，故，可得==，故二面角的正弦值為.
（法二）：證明：（Ⅰ）如圖，以所在的直線為軸，以所在的直線為軸，以為原點(diǎn)，作空間直角坐標(biāo)系，則，

，
點(diǎn)為弧的中點(diǎn)，