Question

20．已知不等式組$\left\{\begin{array}{l}3x+4y-10≥0\\ x≤4\\ y≤3\end{array}\right.$，表示區(qū)域D，過(guò)區(qū)域D中任意一點(diǎn)P作圓x²+y²=1的兩條切線且切點(diǎn)分別為A，B，當(dāng)∠PAB最大時(shí)，cos∠PAB=（　　）

• A． $\frac{4}{5}$
• B． $\frac{1}{2}$
• C． $\frac{1}{5}$
• D． $\frac{3}{5}$

Answer 1

分析 由題意和線性規(guī)劃問(wèn)題畫(huà)出平面區(qū)域D，由分析和切線性質(zhì)得：要使∠PAB最大則∠OPA最小、即OP最大，由圖象求出OP的最大值，根據(jù)誘導(dǎo)公式求出當(dāng)∠PAB最大時(shí)cos∠PAB的值．

解答 解：由題意畫(huà)出平面區(qū)域D如圖所示，
要使∠PAB最大，則∠OPA最小，
∵OA⊥PA，且OA=1，∴sin∠OPA=$\frac{OA}{OP}$=$\frac{1}{OP}$，
∴∠OPA最小，則sin∠OPA=$\frac{1}{OP}$最小，即OP最大，
∵點(diǎn)P是區(qū)域D中任意一點(diǎn)，
∴OP最大值是OE=$\sqrt{{4}^{2}+{3}^{2}}$=5，
此時(shí)sin∠OPA=$\frac{1}{5}$，
在RT△AOP中，∠PAB+∠OPA=$\frac{π}{2}$，
∴cos∠OPA=sin∠OPA=$\frac{1}{5}$，
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了直線與圓相切問(wèn)題，線性規(guī)劃的應(yīng)用，利用數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵，是綜合性題目．