Question

15．設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，且S_n+$\frac{1}{3}$a_n=1（n∈N^*）．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）若數(shù)列{b_n}滿足b_n=[2log${\;}_{\frac{1}{4}}$（$\frac{1}{3}$a_n）-7]cosnπ+a_n，求數(shù)列{b_n}前n項和T_n．

Answer 1

分析 （1）由已知推導(dǎo)出a₁=$\frac{3}{4}$，a_n=$\frac{1}{4}$a_n-1，由此能求出數(shù)列{a_n}的通項公式．
（2）先求出b_n=（2n-7）cosnπ+3（$\frac{1}{4}$）ⁿ，由此根據(jù)n為偶數(shù)和n為奇數(shù)兩種情況分類討論，能求出數(shù)列{b_n}前n項和T_n．

解答 解：（1）∵數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，且S_n+$\frac{1}{3}$a_n=1（n∈N^*），
∴當n=1時，a₁=S₁，由S₁+$\frac{1}{3}$a₁=$\frac{4}{3}{a}_{1}$=1，解得a₁=$\frac{3}{4}$，
當n≥2時，S_n+$\frac{1}{3}$a_n=1，①，S_n-1+$\frac{1}{3}$a_n-1=1，②，
①-②，得a_n+$\frac{1}{3}$a_n-$\frac{1}{3}$a_n-1=0，即a_n=$\frac{1}{4}$a_n-1，
∴{a_n}是以$\frac{3}{4}$為首項，$\frac{1}{4}$為公比的等比數(shù)列．
∴a_n=$\frac{3}{4}$（$\frac{1}{4}$）^n-1=3（$\frac{1}{4}$）ⁿ．（n∈N*）．
（2）b_n=[2log${\;}_{\frac{1}{4}}$（$\frac{1}{3}$a_n）-7]cosnπ+a_n
=[$2lo{g}_{\frac{1}{4}}（\frac{1}{4}）^{n}$-7]cosnπ+3（$\frac{1}{4}$）ⁿ
=（2n-7）cosnπ+3（$\frac{1}{4}$）ⁿ，
∴數(shù)列{b_n}前n項和：
T_n=（7-2）+（4-7）+（7-8）+（16-7）+…+（2n-7）×（-1）ⁿ+3（$\frac{1}{4}+\frac{1}{{4}^{2}}+\frac{1}{{4}^{3}}+\frac{1}{{4}^{4}}+…+\frac{1}{{4}^{n}}$），
∴當n為偶數(shù)時，
T_n=2+8+32+128+…+2×${4}^{\frac{n}{2}-1}$+3（$\frac{1}{4}+\frac{1}{{4}^{2}}+\frac{1}{{4}^{3}}+\frac{1}{{4}^{4}}+…+\frac{1}{{4}^{n}}$）
=$\frac{2（1-{4}^{\frac{n}{2}}）}{1-4}$+3×$\frac{\frac{1}{4}（1-\frac{1}{{4}^{n}}）}{1-\frac{1}{4}}$
=$\frac{{2}^{n+1}}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{{4}^{n}}$．
當n為奇數(shù)時，
T_n=2+8+32+128+…+2×${4}^{\frac{n-1}{2}}$+7-2n+3（$\frac{1}{4}+\frac{1}{{4}^{2}}+\frac{1}{{4}^{3}}+\frac{1}{{4}^{4}}+…+\frac{1}{{4}^{n}}$）
=$\frac{2（1-{4}^{\frac{n-1}{2}}）}{1-4}$+3×$\frac{\frac{1}{4}（1-\frac{1}{{4}^{n}}）}{1-\frac{1}{4}}$+7-2n
=$\frac{{2}^{n}}{3}-\frac{1}{{4}^{n}}-2n+\frac{22}{3}$．
∴$_{n}=\left\{\begin{array}{l}{\frac{{2}^{n+1}}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{{4}^{n}}，n為偶數(shù)}\\{\frac{{2}^{n}}{3}-\frac{1}{{4}^{n}}-2n+\frac{22}{3}．n為奇數(shù)}\end{array}\right.$．

點評 本題考查數(shù)列的通項公式的求法，考查數(shù)列的前n項和的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意構(gòu)造法和分類討論思想的合理運用．