Question

15．設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且S_n+$\frac{1}{3}$a_n=1（n∈N^*）．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）若數(shù)列{b_n}滿足b_n=[2log${\;}_{\frac{1}{4}}$（$\frac{1}{3}$a_n）-7]cosnπ+a_n，求數(shù)列{b_n}前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析 （1）由已知推導(dǎo)出a₁=$\frac{3}{4}$，a_n=$\frac{1}{4}$a_n-1，由此能求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．
（2）先求出b_n=（2n-7）cosnπ+3（$\frac{1}{4}$）ⁿ，由此根據(jù)n為偶數(shù)和n為奇數(shù)兩種情況分類(lèi)討論，能求出數(shù)列{b_n}前n項(xiàng)和T_n．

解答 解：（1）∵數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且S_n+$\frac{1}{3}$a_n=1（n∈N^*），
∴當(dāng)n=1時(shí)，a₁=S₁，由S₁+$\frac{1}{3}$a₁=$\frac{4}{3}{a}_{1}$=1，解得a₁=$\frac{3}{4}$，
當(dāng)n≥2時(shí)，S_n+$\frac{1}{3}$a_n=1，①，S_n-1+$\frac{1}{3}$a_n-1=1，②，
①-②，得a_n+$\frac{1}{3}$a_n-$\frac{1}{3}$a_n-1=0，即a_n=$\frac{1}{4}$a_n-1，
∴{a_n}是以$\frac{3}{4}$為首項(xiàng)，$\frac{1}{4}$為公比的等比數(shù)列．
∴a_n=$\frac{3}{4}$（$\frac{1}{4}$）^n-1=3（$\frac{1}{4}$）ⁿ．（n∈N*）．
（2）b_n=[2log${\;}_{\frac{1}{4}}$（$\frac{1}{3}$a_n）-7]cosnπ+a_n
=[$2lo{g}_{\frac{1}{4}}（\frac{1}{4}）^{n}$-7]cosnπ+3（$\frac{1}{4}$）ⁿ
=（2n-7）cosnπ+3（$\frac{1}{4}$）ⁿ，
∴數(shù)列{b_n}前n項(xiàng)和：
T_n=（7-2）+（4-7）+（7-8）+（16-7）+…+（2n-7）×（-1）ⁿ+3（$\frac{1}{4}+\frac{1}{{4}^{2}}+\frac{1}{{4}^{3}}+\frac{1}{{4}^{4}}+…+\frac{1}{{4}^{n}}$），
∴當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，
T_n=2+8+32+128+…+2×${4}^{\frac{n}{2}-1}$+3（$\frac{1}{4}+\frac{1}{{4}^{2}}+\frac{1}{{4}^{3}}+\frac{1}{{4}^{4}}+…+\frac{1}{{4}^{n}}$）
=$\frac{2（1-{4}^{\frac{n}{2}}）}{1-4}$+3×$\frac{\frac{1}{4}（1-\frac{1}{{4}^{n}}）}{1-\frac{1}{4}}$
=$\frac{{2}^{n+1}}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{{4}^{n}}$．
當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，
T_n=2+8+32+128+…+2×${4}^{\frac{n-1}{2}}$+7-2n+3（$\frac{1}{4}+\frac{1}{{4}^{2}}+\frac{1}{{4}^{3}}+\frac{1}{{4}^{4}}+…+\frac{1}{{4}^{n}}$）
=$\frac{2（1-{4}^{\frac{n-1}{2}}）}{1-4}$+3×$\frac{\frac{1}{4}（1-\frac{1}{{4}^{n}}）}{1-\frac{1}{4}}$+7-2n
=$\frac{{2}^{n}}{3}-\frac{1}{{4}^{n}}-2n+\frac{22}{3}$．
∴$_{n}=\left\{\begin{array}{l}{\frac{{2}^{n+1}}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{{4}^{n}}，n為偶數(shù)}\\{\frac{{2}^{n}}{3}-\frac{1}{{4}^{n}}-2n+\frac{22}{3}．n為奇數(shù)}\end{array}\right.$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，考查數(shù)列的前n項(xiàng)和的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意構(gòu)造法和分類(lèi)討論思想的合理運(yùn)用．