Question

如圖，四棱錐P-ABCD的底面為正方形，PA⊥底面ABCD，AB=1，PA=，E為CP的中點．
（1）求直線DE與平面ABCD所成角的大小．
（2）求二 面角E-AD-C的正切值．
（3）在線段PC上是否存在一點M，使PC⊥平面MBD？如果存在，求出MC的長；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）如圖，連接AC，BD交于點0，連接OE，則OE∥PA．
∵PA⊥底面ABCD，
∴OE⊥面ABCD．
∠EDO為DE與平面ABCD所成的角．（2分）
∵，
∴EDO=60°（4分）
（2）過點0作OF⊥AD于F，連接EF，由三垂線定理得EF⊥AD，
則∠EFO為二面角E-AD-C的平面角．（6分）
∵，
∴．（8分）
（3）過點O作OM⊥PC于M，由△COM～△CPA，得．（10分）
∵PC⊥OM，又PC⊥BD
∴PC⊥面MBD．
所以，所求M存在，且其位置使CM=．（12分）
分析：（1）本小題是一個求線面角的問題，首先要作出線面角，考查題設條件，可連接AC，BD交于點0，連接OE，則可得到OE∥PA，由題設條件可以得到OE⊥面ABCD，由線面角的定義可以得出∠EDO為DE與平面ABCD所成的角，如此線面角易求；
（2）本小題是一個求二面角的問題，其一般解法是作出二面角的平面角，解三角形求出角，由（1）及二面角平面角的定義知，可過點0作OF⊥AD于F，連接EF，由此得∠EFO為二面角E-AD-C的平面角．由題設條件在三角形中求解即可；
（3）本小題研究線面垂直的問題，是一個存在性問題，此類題一般是假設存在，再尋求存在的依據(jù)，一般是通過其存在所具有的性質(zhì)，建立方程求解，若有解則說明存在，否則說明不存在，由圖，可做PC⊥OM
點評：本題考查二面角的平面角及求法，線面角的求法，及線面垂直的存在性問題，解題的關鍵是熟練掌握二面角的平面角的作法與證法，線面角的作法與證法，在此類題的求解中，易漏掉證明所作的角即是所求的角而導致得分不全，本題考查了推理論證能力及空間想像感知能力綜合性較強，有一定的思維深度，作題時推理要嚴謹