Question

已知命題p：方程a²x²+ax-2=0在[-1，1]上有解；命題q：只有一個實數(shù)x滿足不等式x²+2ax+2a≤0．若命題“p或q”是假命題，則a的取值范圍是

 

．

Answer 1

分析：對方程a²x²+ax-2=0進行因式分解是解決該題的關(guān)鍵，得出方程的根（用a表示出）．利用根在[-1，1]上，得出關(guān)于a的不等式，求出命題p為真的a的范圍，利用x²+2ax+2a≤0相應的二次方程的判別式等于0得出關(guān)于a的方程，求出a，再根據(jù)“p或q”是假命題得出a的范圍．

解答：解：由a²x²+ax-2=0，得（ax+2）（ax-1）=0，
顯然a≠0，∴x=-

2

a

，或x=

1

a

．
∵x∈[-1，1]，∴|-

2

a

|≤1或|

1

a

|≤1，∴|a|≥1．
只有一個實數(shù)x滿足不等式x²+2ax+2a≤0，即拋物線y=x²+2ax+2a與x軸只有一個交點，
∴△=4a²-8a=0，∴a=0或a=2．
∴命題“p或q”為真命題時，|a|≥1或a=0．
∵命題“p或q”為假命題，
∴a的取值范圍為{a|-1＜a＜0或0＜a＜1}．
故答案：-1＜a＜0或0＜a＜1．

點評：本題考查命題真假的判斷，利用因式分解求出方程的根是解決本題的關(guān)鍵，再根據(jù)一元二次不等式與二次方程的關(guān)系轉(zhuǎn)化相應的不等式問題，考查學生的等價轉(zhuǎn)化思想，考查學生對復合命題真假的判斷準則．