已知中心在原點，焦點在軸上的橢圓C的離心率為，且經(jīng)過點，過點P（2，1）的直線與橢圓C在第一象限相切于點M ．
（1）求橢圓C的方程；
（2）求直線的方程以及點M的坐標；
（3）是否存過點P的直線與橢圓C相交于不同的兩點A、B，滿足？若存在，求出直線l1的方程；若不存在，請說明理由．
，，
解（Ⅰ）設橢圓C的方程為，由題意得
解得，故橢圓C的方程為．……………………4分
（Ⅱ）因為過點P（2，1）的直線l與橢圓在第一象限相切，所以l的斜率存在，故可調(diào)直線l的議程為
由                                         得．①
因為直線與橢圓相切，所以
整理，得                                 解得
所以直線l方程為
將代入①式，可以解得M點橫坐標為1，故切點M坐標為……8分
（Ⅲ）若存在直線l1滿足條件，的方程為，代入橢圓C的方程得

因為直線l1與橢圓C相交于不同的兩點A，B，設A，B兩點的坐標分別為
所以
所以．
又，
因為即，
所以．
即
所以，解得 因為A，B為不同的兩點，所以．
于是存在直線1滿足條件，其方程為………………………………12分
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

（本題滿分12分）
設橢圓的兩個焦點是，且橢圓上存在點M，使
（1）求實數(shù)m的取值范圍；
（2）若直線與橢圓存在一個公共點E，使得|EF|+|EF|取得最小值，求此最小值及此時橢圓的方程；
（3）在條件（2）下的橢圓方程，是否存在斜率為的直線,與橢圓交于不同的兩A，B，滿足，且使得過點兩點的直線NQ滿足=0？若存在，求出k的取值范圍；若不存在，說明理由

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

設分別是橢圓的左、右焦點，過斜率為1的直線與相交于兩點，且成等差數(shù)列。
（1）求的離心率；
（2）設點滿足，求的方程

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

（本題滿分13分）已知是橢圓的兩個焦點，為坐標原點，點在橢圓上，且，⊙是以為直徑的圓，直線：與⊙相切，并且與橢圓交于不同的兩點
（1）求橢圓的標準方程；
（2）當，且滿足時，求弦長的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

（本題滿分18分，其中第1小題6分，第2小題4分，第3小題8分）
定義變換：可把平面直角坐標系上的點變換到這一平面上的點.特別地，若曲線上一點經(jīng)變換公式變換后得到的點與點重合，則稱點是曲線在變換下的不動點.
（1）若橢圓的中心為坐標原點，焦點在軸上，且焦距為，長軸頂點和短軸頂點間的距離為2. 求該橢圓的標準方程. 并求出當時，其兩個焦點、經(jīng)變換公式變換后得到的點和的坐標；
（2）當時，求（1）中的橢圓在變換下的所有不動點的坐標；
（3）試探究：中心為坐標原點、對稱軸為坐標軸的雙曲線在變換
：（，）下的不動點的存在情況和個數(shù).

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：填空題

為橢圓上任一點，當到直線的距離的最小時，點的坐標是 ▲ 

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：單選題

我們把由半橢圓

合成的曲線稱作“果圓”（其中）。如圖，設點是相應橢圓的焦點，A1、A2和B1、B2是“果圓”與x，y軸的交點，若△F0F1F2是邊長為1的等邊三角形，則a，b的值分別為 （    ）

1,3,5

 
    
A．B．C．5，3D．5，4

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：填空題

已知動點P（x,y）在橢圓上，若F（3，0），，且M為PF中點，則=_____．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：填空題

16．在△ABC中，∠A=15°，∠B=105°，若以A，B為焦點的橢圓經(jīng)過點C．則該橢圓的離心率為          ．

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