Question

19．雙曲線C與橢圓$\frac{x^2}{9}$+$\frac{y^2}{5}$=1有公共焦點(diǎn)，且C的一條漸近線方程為x+$\sqrt{3}$y=0，則C的方程為$\frac{x^2}{3}-{y^2}=1$．

Answer 1

分析 由題意方程求出其半焦距，得到雙曲線是焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線，并得到雙曲線的半焦距，再由雙曲線的漸近線方程得到雙曲線的實(shí)半軸長(zhǎng)與虛半軸長(zhǎng)的關(guān)系，結(jié)合隱含條件求得實(shí)半軸長(zhǎng)與虛半軸長(zhǎng)，則雙曲線方程可求．

解答 解：由橢圓$\frac{x^2}{9}$+$\frac{y^2}{5}$=1，得a²=9，b²=5，
∴$c=\sqrt{{a}^{2}-^{2}}=2$，
∴雙曲線C的焦點(diǎn)為F₁（-3，0），F(xiàn)₂（3，0），
設(shè)雙曲線的實(shí)半軸為a₁，虛半軸為b₁，
∵漸近線方程為x+$\sqrt{3}$y=0，即y=$-\frac{\sqrt{3}}{3}x$，
∴$\frac{_{1}}{{a}_{1}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，
又c₁=c=2，且${{a}_{1}}^{2}+{_{1}}^{2}={{c}_{1}}^{2}$，
解得${{a}_{1}}^{2}=3，{_{1}}^{2}=1$．
∴雙曲線C的方程為$\frac{{x}^{2}}{3}-{y}^{2}=1$．
故答案為：$\frac{x^2}{3}-{y^2}=1$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓與雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查了雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)，屬中檔題．