Question

19．已知橢圓C中心在原點，左焦點為F（-$\sqrt{3}$，0），右頂點為A（2，0），設(shè)點B（3，0）．
（1）求橢圓C的標準方程；
（2）若P是橢圓C上的動點，求線段PB中點M的軌跡方程．

Answer 1

分析 （1）利用橢圓的定義，直接寫出橢圓方程；
（2）設(shè)出P與M點坐標，利用P在橢圓上，M為PB中點，找出中點的坐標與P、B點坐標的關(guān)系即可．

解答 解：（1）由題意得：∵$c=\sqrt{3}，a=2∴{b^2}=1$；
根據(jù)橢圓的標準式，∴$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$；
（2）設(shè)P（x，y），M（m，n），
∵P在橢圓C上，所以 $\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$   ①；
∴$\left\{\begin{array}{l}{m=\frac{3+x}{2}}\\{n=\frac{0+y}{2}}\end{array}\right.$⇒$\left\{\begin{array}{l}{x=2m-3}\\{y=2n}\end{array}\right.$  ②
將②帶入①知：$\frac{（2m-3）^{2}}{4}+（2n）^{2}=1$
故M的軌跡方程為：$\frac{{{{（{2x-3}）}^2}}}{4}+4{y^2}=1$

點評 本題主要考察了橢圓的基本定義，中點坐標公式以及點軌跡方程等知識點，屬中等題．