Question

（本小題滿分14分）設(shè)數(shù)列滿足，， 。

數(shù)列滿足是非零整數(shù)，且對(duì)任意的正整數(shù)和自然數(shù)，都有

。

（1）求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；

（2）記，求數(shù)列的前項(xiàng)和。

 

Answer 1

（1）an =，；

（2）

【解析】

試題分析：（1）由遞推公式構(gòu)造等比數(shù)列可得，再累加得an =；由題意對(duì)正整數(shù)和自然數(shù)賦值可得∴b2=-1，同理得∴b3=1，以此類推可得n為偶數(shù)時(shí)，bn=-1；當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，bn=1；∴.

（2）由（1）得，故分n為奇數(shù)和n為偶數(shù)兩種情況來求，求解過程中注意錯(cuò)位相減法的應(yīng)用.

試題解析：【解析】
（1）由得

(n≥3)

又a2-a1=1≠0，

∴數(shù)列{an+1-an}是首項(xiàng)為1公比為的等比數(shù)列，

an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+(a4-a3)+…+(an-an-1)

=，

由 得b2=-1，由 得b3=1，…

同理可得當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，bn=-1；當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，bn=1；

因此

（2）

Sn=c1+c2+c3+c4+…+cn

當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，

=

當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)

=

令Tn= ……①

①×得：Tn= ……②

①-②得：Tn =

= ∴Tn =

∴

考點(diǎn)：數(shù)列求通項(xiàng)公式和數(shù)列求和的綜合問題