Question

定義在（-∞，+∞）上的偶函數(shù)f（x）滿足f（x+1）=-f（x），且在[-1，0]上是增函數(shù)，下面是關(guān)于f（x）的判斷：
（1）f（x）的周期為2；  
（2）f（x）關(guān)于點(diǎn)P（

1

2

，0）對(duì)稱    
（3）f（x）的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱；
（4）f（x）在[0，1]上是增函數(shù)；
其中正確的判斷的個(gè)數(shù)為（　　）

A．1個(gè)

B．2 個(gè)

C．3個(gè)

D．4個(gè)

Answer 1

分析：由條件求得f（x+2）=f（x），函數(shù)的周期為2，函數(shù)的圖象每隔半個(gè)周期出現(xiàn)一條對(duì)稱軸，f（x）的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱，函數(shù)在[0，1]上是減函數(shù)，f（

1

2

）=0，f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)P（

1

2

，0）對(duì)稱，綜上可得結(jié)論．

解答：解：定義在（-∞，+∞）上的偶函數(shù)f（x）滿足f（x+1）=-f（x），故有f（x+2）=f（x），
故函數(shù)的周期為2，故函數(shù)的圖象的對(duì)稱軸有無(wú)數(shù)個(gè)，每隔半個(gè)周期出現(xiàn)一條對(duì)稱軸，
故f（x）的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱，故（1）、（3）正確．
再由函數(shù)f（x）在[-1，0]上是增函數(shù)，可得函數(shù)在[0，1]上是減函數(shù)，故（4）不正確．
再由f（x）=-f（x+1），可得f（

1

2

）=-f（

3

2

）=-f（

3

2

-2）=-f（-

1

2

）=-f（

1

2

），
故有f（

1

2

）=0，故f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)P（

1

2

，0）對(duì)稱，故（2）正確．
綜上可得，（1）、（2）、（3）正確，（4）不正確，
故選C．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性和周期性的應(yīng)用，函數(shù)的圖象和性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．