Question

3．連接橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$的四個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成的四邊形的面積為4，其一個(gè)焦點(diǎn)與拋物線${y^2}=4\sqrt{3}x$的焦點(diǎn)重合，則該橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$．

Answer 1

分析 利用橢圓的性質(zhì)，通過面積列出方程，利用橢圓與拋物線焦點(diǎn)坐標(biāo)相同，求出c，然后求解橢圓方程．

解答 解：連接橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$的四個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成的四邊形的面積為4，
可得2ab=4，其一個(gè)焦點(diǎn)與拋物線${y^2}=4\sqrt{3}x$的焦點(diǎn)重合，可得c=$\sqrt{3}$，即a²-b²=3，又ab=2，解得a=2，b=1，
所求的橢圓方程為：$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$．
故答案為：$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用，考查計(jì)算能力．