Question

設(shè)等比數(shù)列的首項(xiàng)為，公比為為正整數(shù)），且滿足是與的等差中項(xiàng)；數(shù)列滿足。

（1）       求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（2）       試確定實(shí)數(shù)的值，使得數(shù)列為等差數(shù)列；

（3）       當(dāng)數(shù)列為等差數(shù)列時(shí)，對(duì)每個(gè)正整數(shù)，在和之間插入個(gè)2，得到一個(gè)新數(shù)列。設(shè)是數(shù)列的前項(xiàng)和，試求滿足的所有正整數(shù)。

Answer 1

解： （1）由題意，則，解得或

因?yàn)?sub>為正整數(shù)，所以，

又，所以

（2）當(dāng)時(shí)，得，

同理：時(shí)，得；時(shí)，得，

則由，得而當(dāng)時(shí)，，得。

由，知此時(shí)數(shù)列為等差數(shù)列。

（3）由題意知，

則當(dāng)時(shí)，，不合題意，舍去；

當(dāng)時(shí)，，所以成立；

當(dāng)時(shí)，若，則，不合題意，舍去；從而必是數(shù)列中的某一項(xiàng)，則

又，所以，

即，所以

因?yàn)?sub>為奇數(shù)，而為偶數(shù)，所以上式無(wú)解。

即當(dāng)時(shí)，

綜上所述，滿足題意的正整數(shù)僅有。