Question

某海濱浴場(chǎng)的岸邊可以近似的看成直線，位于岸邊A處的救生員發(fā)現(xiàn)海中B處有人求救，救生員沒(méi)有直接從A處游向B處，而是沿岸邊自A跑到距離B最近的D處，然后游向B處．若救生員在岸邊的行進(jìn)速度是6米/秒，在海中的行進(jìn)速度是2米/秒．（不考慮水流速度等因素）
（1）請(qǐng)分析救生員的選擇是否正確；
（2）在AD上找一點(diǎn)C，使救生員從A到B的時(shí)間最短，并求出最短時(shí)間．

Answer 1

分析：（1）分別求出救生員在兩種情況下所用時(shí)間，通過(guò)比較兩種情況所用的時(shí)間即可得到答案；
（2）設(shè)出C點(diǎn)到D點(diǎn)的距離，列出救生員從A點(diǎn)到B點(diǎn)所用的總時(shí)間，然后通過(guò)求導(dǎo)得到當(dāng)C點(diǎn)到D點(diǎn)距離為多少時(shí)能使所用時(shí)間最短，同時(shí)求出了所用時(shí)間的最小值．

解答：解：（1）由圖可知，A到B的距離為300

2

米．
從A處游向B處的時(shí)間t1=

300 2

2

=150

2

(s)，
而沿岸邊自A跑到距離B最近的D處，然后游向B處的時(shí)間t2=

300

6

+

300

2

=200(s)．
而150

2

＞200，所以救生員的選擇是正確的；
（2）設(shè)CD=x，則AC=300-x，BC=

3002+x2

，
救生員從A經(jīng)C到B的時(shí)間t=

300-x

6

+

3002+x2

2

，0≤x≤300
t′=-

1

6

+

x

2 90000+x2

，
令t^′=0，得-

1

6

+

x

2 90000+x2

=0，解得：x=75

2

，
又當(dāng)0＜x＜75

2

時(shí)，t^′＜0；
當(dāng)75

2

＜x＜300時(shí)，t^′＞0．
所以當(dāng)x=75

2

時(shí)，函數(shù)t有極小值，也就是最小值．
為t(75

2

)=

300-75 2

6

+

3002+(75 2 )2

2

=50+100

2

（s）．
答：救生員自A點(diǎn)跑到距D點(diǎn)75

2

米處，然后下海直線游到B處所用時(shí)間最短為50+100

2

秒．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)模型的選擇及應(yīng)用，訓(xùn)練了導(dǎo)數(shù)在最大值最小值中的應(yīng)用，實(shí)際問(wèn)題在建模時(shí)一定要注意應(yīng)有實(shí)際意義，此題是中檔題．