Question

已知等差數(shù)列{a_n}前三項的和為-3，前三項的積為8．
（Ⅰ）求等差數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）若a₂，a₃，a₁成等比數(shù)列，求數(shù)列{|a_n|}的前n項和．

Answer 1

分析：（Ⅰ）設等差數(shù)列{a_n}的公差為d，由等差數(shù)列{a_n}前三項的和為-3，前三項的積為8，利用等差數(shù)列的通項公式列出方程組，求公差和首項，由此能求出等差數(shù)列{a_n}的通項公式．
（Ⅱ）由（Ⅰ）和a₂，a₃，a₁分別為-1，2，-4，成等比數(shù)列，知|a_n|=|3n-7|=

-3n+7，n=1，2 3n-7，n≥3

，由此能求出數(shù)列{|a_n|}的前n項和為S_n．

解答：解：（Ⅰ）設等差數(shù)列{a_n}的公差為d，
則a₂=a₁+d，a₃=a₁+2d，
∵等差數(shù)列{a_n}前三項的和為-3，前三項的積為8，
∴

3a1+3d=-3 a1(a1+d+(a1+2d)=8

，
解得

a1=2 d=-3

，或

a1=-4 d=3

，
所以由等差數(shù)列通項公式，得
a_n=2-3（n-1）=-3n+5，或a_n=-4+3（n-1）=3n-7．
故a_n=-3n+5，或a_n=3n-7．
（Ⅱ）當a_n=-3n+5時，a₂，a₃，a₁分別為-1，-4，2，不成等比數(shù)列；
當a_n=3n-7時，a₂，a₃，a₁分別為-1，2，-4，成等比數(shù)列，滿足條件．
故|a_n|=|3n-7|=

-3n+7，n=1，2 3n-7，n≥3

，
記數(shù)列{|a_n|}的前n項和為S_n．
當n=1時S₁=|a₁|=4；當n=2時，S₂=|a₁|+|a₂|=5；
當n≥3時，
S_n=S₂+|a₃|+|a₄|+…+|a_n|
=5+（3×3-7）+（3×4-7）+…+（3n-7）
=5+

(n-2)[2+(3n-7)]

2

=

3

2

n2-

11

2

n+10．
當n=2時，滿足此式．
綜上所述，Sn=

4，n=1 3 2 n2- 11 2 n+10，n≥2

．

點評：本題考查等差數(shù)列的通項公式和前n項和公式的求法，解題時要認真審題，注意分類討論思想的合理運用．易錯點是求等差數(shù)列通項公式時容易丟解．