Question

5．已知函數(shù)f（x）=cos²x+$\sqrt{3}$sinxcosx+$\frac{1}{2}$．
（1）求f（x）的對稱中心和對稱軸方程；
（2）求f（x）在區(qū)間[0，$\frac{π}{2}$]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析 利用三角恒等變換化簡函數(shù)f（x）為正弦型三角函數(shù)，
（1）根據(jù)正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)即可求出f（x）的對稱中心和對稱軸方程；
（2）由正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)也可求出f（x）在區(qū)間[0，$\frac{π}{2}$]上的最大值和最小值．

解答 解：函數(shù)f（x）=cos²x+$\sqrt{3}$sinxcosx+$\frac{1}{2}$
=$\frac{1+cos2x}{2}$+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x+$\frac{1}{2}$
=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x+$\frac{1}{2}$cos2x+1
=sin（2x+$\frac{π}{6}$）+1；
（1）令2x+$\frac{π}{6}$=kπ，k∈Z，
解得x=$\frac{kπ}{2}$-$\frac{π}{12}$，k∈Z，
所以f（x）的對稱中心為（$\frac{kπ}{2}$-$\frac{π}{12}$，1），k∈Z；
令2x+$\frac{π}{6}$=kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，
解得x=$\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{6}$，k∈Z，
所以f（x）的對稱軸方程為x=$\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{6}$，k∈Z；
（2）因為0≤x≤$\frac{π}{2}$，
所以0≤2x≤π，
所以$\frac{π}{6}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤$\frac{7π}{6}$，
所以當2x+$\frac{π}{6}$=$\frac{7π}{6}$，即x=$\frac{π}{2}$時，sin（2x+$\frac{π}{6}$）=-$\frac{1}{2}$，
此時f（x）=sin（2x+$\frac{π}{6}$）+1=-$\frac{1}{2}$+1=$\frac{1}{2}$取得最小值；
當2x+$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$，即x=$\frac{π}{6}$時，sin（2x+$\frac{π}{6}$）=1，
此時f（x）=sin（2x+$\frac{π}{6}$）+1=1+1=2取得最大值；
所以f（x）在區(qū)間[0，$\frac{π}{2}$]上的最大值是2，最小值是$\frac{1}{2}$．

點評 本題考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應用問題，也考查了三角恒等變換的應用問題，是基礎題目．