Question

14．已知函數(shù)f（x）=-lnx+t（x-1），t為實數(shù)．
（1）當(dāng)t=1時，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若當(dāng)t=$\frac{1}{2}$時，$\frac{k}{x}$-$\frac{1}{2}$-f（x）＜0在（1，+∞）上恒成立，求實數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求導(dǎo)函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)大于0，求函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間，導(dǎo)數(shù)小于0，求函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間；
（2）當(dāng)t=$\frac{1}{2}$時，$\frac{k}{x}$-$\frac{1}{2}$-f（x）＜0在（1，+∞）上恒成立，可得k＜-xlnx+$\frac{1}{2}{x}^{2}$在（1，+∞）上恒成立，利用導(dǎo)數(shù)確定單調(diào)性，求出最值，即可求實數(shù)k的取值范圍．

解答 解：（1）當(dāng)t=1時，f（x）=-ln x+（x-1），f′（x）=-$\frac{1}{x}$+1，
令f′（x）=0，∴x=1，∵x∈（0，+∞）
故函數(shù)f（x）的單調(diào)減區(qū)間為（0，1），單調(diào)增區(qū)間為（1，+∞）；
（2）當(dāng)t=$\frac{1}{2}$時，$\frac{k}{x}$-$\frac{1}{2}$-f（x）＜0在（1，+∞）上恒成立，
可得k＜-xlnx+$\frac{1}{2}{x}^{2}$在（1，+∞）上恒成立，
令y=-xlnx+$\frac{1}{2}{x}^{2}$，則y′=-lnx-1+x，
y″=-$\frac{1}{x}$+1＞0，∴y′在（1，+∞）上單調(diào)遞增，
∴y′＞-ln1-1+1=0，
∴y在（1，+∞）上單調(diào)遞增，
∴y＞$\frac{1}{2}$，
∴k≤$\frac{1}{2}$．

點評 本題以函數(shù)為載體，考查導(dǎo)數(shù)的運用，考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，同時考查了函數(shù)最值的運用，有一定的綜合性．