Question

已知無(wú)窮數(shù)列{a_n}中，a₁，a₂，…，a_m是首項(xiàng)為10，公差為-2的等差數(shù)列；a_m+1，a_m+2，…a_2m是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列（m≥3，m∈N^*），并對(duì)任意n∈N^*，均有a_n+2m=a_n成立．
（1）當(dāng)m=12時(shí)，求a₂₀₁₀；
（2）若，試求m的值；
（3）判斷是否存在m，使S_128m+3≥2010成立，若存在，求出m的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）由a_n+24=a_n，知a₂₀₁₀=a₁₈，a₁₈是以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列的第6項(xiàng)，所以．
（2）由，知m≥7，由，知2km+m+7=（2k+1）m+7=52，由此入手可求出m可取9、15、45．
（3）由，知，．設(shè)f（m）=704m-64m²，＞1922；f（m）=-64（m²-11m），f（x）_max=f（5）=f（6）=1920，所以不存在這樣的m．
解答：（1）a_n+24=a_n；所以a₂₀₁₀=a₁₈（2分）
a₁₈是以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列的第6項(xiàng)，
所以（4分）

（2），所以m≥7（5分）
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131101231432347973275/SYS201311012314323479732020_DA/13.png">，所以2km+m+7=（2k+1）m+7=52，其中m≥7，m∈N，k∈N（6分）
（2k+1）m=45，
當(dāng)k=0時(shí)，m=45，成立．
當(dāng)k=1時(shí)，m=15，成立；
當(dāng)k=2時(shí)，m=9成立（9分）
當(dāng)k≥3時(shí)，；
所以m可取9、15、45（10分）

（3）（12分）

設(shè)f（m）=704m-64m²，（14分）
g（m）＞1922；
f（m）=-64（m²-11m），對(duì)稱(chēng)軸，
所以f（m）在m=5或6時(shí)取最大f（x）_max=f（5）=f（6）=1920，
因?yàn)?922＞1920，所以不存在這樣的m（16分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的不等式的綜合應(yīng)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意計(jì)算能力的培養(yǎng)．