Question

已知等比數列{a_n}滿足
（I）求{a_n}的通項公式；
（II）設，求數列的前n項的和．

Answer 1

【答案】分析：（I）利用等比數列的通項公式及已知即可解得a₁及q，即可得到a_n；
（II）對于b_n提取n+1，再利用裂項求和即可得出b_n，即可得到=n•（-3）^n-1．再利用錯位相減法及等比數列的前n項和公式即可得出．
解答：解：（Ⅰ）設a_n=a₁q^n-1，依題意，有解得a₁=1，q=-．
∴a_n=（-）^n-1．
（Ⅱ）b_n=++…+
=（n+1）[++…+]
=（n+1）[（1-）+（-）+…+（-）]
=n．
∴=n•（-3）^n-1．
記數列{}的前n項的和為S_n，則
S_n=1+2×（-3）+3×（-3）²+…+n×（-3）^n-1，
-3S_n=-3+2×（-3）²+3×（-3）³+…+n×（-3）ⁿ，
兩式相減，得
4S_n=1+（-3）+（-3）²+…+（-3）^n-1-n×（-3）ⁿ=-n×（-3）ⁿ，
故S_n=．
點評：熟練掌握等比數列的通項公式及其前n項和公式、裂項求和、錯位相減法是解題的關鍵．